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回溯基础理论
回溯搜索法#xff0c;它是一种搜索的方式。
回溯是递归的副产品#xff0c;只要有递归就会有回溯。
所以以下讲解中#xff0c;回溯函数也就是递归函数#xff0c;指的都是一个函数。 回溯法的效率
虽然…本文源自网上教程的笔记
回溯基础理论
回溯搜索法它是一种搜索的方式。
回溯是递归的副产品只要有递归就会有回溯。
所以以下讲解中回溯函数也就是递归函数指的都是一个函数。 回溯法的效率
虽然回溯法很难很不好理解但是回溯法并不是什么高效的算法。
因为回溯的本质是穷举穷举所有可能然后选出我们想要的答案如果想让回溯法高效一些可以加一些剪枝的操作但也改不了回溯法就是穷举的本质。
那么既然回溯法并不高效为什么还要用它呢
因为没得选一些问题能暴力搜出来就不错了撑死了再剪枝一下还没有更高效的解法。
此时大家应该好奇了都什么问题这么牛逼只能暴力搜索。 回溯法一般可以解决如下几种问题
组合问题N个数里面按一定规则找出k个数的集合切割问题一个字符串按一定规则有几种切割方式子集问题一个N个数的集合里有多少符合条件的子集排列问题N个数按一定规则全排列有几种排列方式棋盘问题N皇后解数独等等什么是组合什么是排列
组合是不强调元素顺序的排列是强调元素顺序。
例如{1, 2} 和 {2, 1} 在组合上就是一个集合因为不强调顺序而要是排列的话{1, 2} 和 {2, 1} 就是两个集合了。 如何理解回溯法 因为回溯法解决的都是在集合中递归查找子集集合的大小就构成了树的宽度递归的深度这就构成的树的深度。 回溯函数伪代码如下
void backtracking(参数)回溯函数终止条件
既然是树形结构那么我们在讲解二叉树的递归 (opens new window)的时候就知道遍历树形结构一定要有终止条件。
所以回溯也有要终止条件。
什么时候达到了终止条件树中就可以看出一般来说搜到叶子节点了也就找到了满足条件的一条答案把这个答案存放起来并结束本层递归。
所以回溯函数终止条件伪代码如下
if (终止条件) {存放结果;return;
} 回溯搜索的遍历过程
在上面我们提到了回溯法一般是在集合中递归搜索集合的大小构成了树的宽度递归的深度构成的树的深度。
如图 注意图中我特意举例集合大小和孩子的数量是相等的
回溯函数遍历过程伪代码如下
for (选择本层集合中元素树中节点孩子的数量就是集合的大小) {处理节点;backtracking(路径选择列表); // 递归回溯撤销处理结果
}for循环就是遍历集合区间可以理解一个节点有多少个孩子这个for循环就执行多少次。
backtracking这里自己调用自己实现递归。 大家可以从图中看出for循环可以理解是横向遍历backtracking递归就是纵向遍历这样就把这棵树全遍历完了一般来说搜索叶子节点就是找的其中一个结果了。
分析完过程回溯算法模板框架如下
void backtracking(参数) {if (终止条件) {存放结果;return;}for (选择本层集合中元素树中节点孩子的数量就是集合的大小) {处理节点;backtracking(路径选择列表); // 递归回溯撤销处理结果}
} 这份模板很重要后面做回溯法的题目都靠它了 77.组合 直接的解法当然是使用for循环例如示例中k为2很容易想到 用两个for循环这样就可以输出 和示例中一样的结果。
代码如下 递归来做层叠嵌套可以理解是开k层for循环每一次的递归中嵌套一个for循环那么递归就可以用于解决多层嵌套循环的问题了。
此时递归的层数大家应该知道了例如n为100k为50的情况下就是递归50层。
为方便理解可以用树形结构来理解 回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构N叉树用树形结构来理解回溯就容易多了。
那么我把组合问题抽象为如下树形结构 看出这棵树一开始集合是 1234 从左向右取数取过的数不再重复取。
第一次取1集合变为234 因为k为2我们只需要再取一个数就可以了分别取234得到集合[1,2] [1,3] [1,4]以此类推。
每次从集合中选取元素可选择的范围随着选择的进行而收缩调整可选择的范围。
图中可以发现n相当于树的宽度k相当于树的深度。
那么如何在这个树上遍历然后收集到我们要的结果集呢
图中每次搜索到了叶子节点我们就找到了一个结果。
相当于只需要把达到叶子节点的结果收集起来就可以求得 n个数中k个数的组合集合。 其实不定义这两个全局变量也是可以的把这两个变量放进递归函数的参数里但函数里参数太多影响可读性所以我定义全局变量了。
函数里一定有两个参数既然是集合n里面取k个数那么n和k是两个int型的参数。
然后还需要一个参数为int型变量startIndex这个参数用来记录本层递归的中集合从哪里开始遍历集合就是[1,...,n] 。
为什么要有这个startIndex呢
startIndex 就是防止出现重复的组合。
从下图中红线部分可以看出在集合[1,2,3,4]取1之后下一层递归就要在[2,3,4]中取数了那么下一层递归如何知道从[2,3,4]中取数呢靠的就是startIndex。 所以需要startIndex来记录下一层递归搜索的起始位置。
那么整体代码如下
vectorvectorint result; // 存放符合条件结果的集合
vectorint path; // 用来存放符合条件单一结果
void backtracking(int n, int k, int startIndex) 回溯函数终止条件
什么时候到达所谓的叶子节点了呢
path这个数组的大小如果达到k说明我们找到了一个子集大小为k的组合了在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。
如图红色部分 此时用result二维数组把path保存起来并终止本层递归。
所以终止条件代码如下
if (path.size() k) {result.push_back(path);return;
}单层搜索的过程
回溯法的搜索过程就是一个树型结构的遍历过程在如下图中可以看出for循环用来横向遍历递归的过程是纵向遍历。 如此我们才遍历完图中的这棵树。
for循环每次从startIndex开始遍历然后用path保存取到的节点i。
代码如下
for (int i startIndex; i n; i) { // 控制树的横向遍历path.push_back(i); // 处理节点 backtracking(n, k, i 1); // 递归控制树的纵向遍历注意下一层搜索要从i1开始path.pop_back(); // 回溯撤销处理的节点
}可以看出backtracking递归函数通过不断调用自己一直往深处遍历总会遇到叶子节点遇到了叶子节点就要返回。
backtracking的下面部分就是回溯的操作了撤销本次处理的结果。
关键地方都讲完了组合问题C完整代码如下
class Solution {
private:vectorvectorint result; // 存放符合条件结果的集合vectorint path; // 用来存放符合条件结果void backtracking(int n, int k, int startIndex) {if (path.size() k) {result.push_back(path);return;}for (int i startIndex; i n; i) {path.push_back(i); // 处理节点 backtracking(n, k, i 1); // 递归path.pop_back(); // 回溯撤销处理的节点}}
public:vectorvectorint combine(int n, int k) {result.clear(); // 可以不写path.clear(); // 可以不写backtracking(n, k, 1);return result;}
};还记得我们在关于回溯算法你该了解这些 (opens new window)中给出的回溯法模板么
如下
void backtracking(参数) {if (终止条件) {存放结果;return;}for (选择本层集合中元素树中节点孩子的数量就是集合的大小) {处理节点;backtracking(路径选择列表); // 递归回溯撤销处理结果}
}对比一下本题的代码是不是发现有点像 所以有了这个模板就有解题的大体方向不至于毫无头绪。 698.划分k个相等的子集
本题的回溯法可以参考这篇文章
经典回溯算法集合划分问题「重要更新 」 - 划分为k个相等的子集 - 力扣LeetCode 代码
以前回溯时我们只需要一个sum即可比如上面那题分为两个等和子集实际上只需要考虑一个即可。但是本题有k个所以我们可以设置k个桶然后每次dfs时使用一个球将其放到1~k个桶里面。
对于本题不能使用全局变量findFlag的形式因为我们一旦找到即可停止搜索
此外这里还有三个剪枝的方法具体可以看上面那篇文章讲的很详细。 class Solution {
public:int sum0;int target;int len;vectorint num;vectorint buckets;bool canPartitionKSubsets(vectorint nums, int k) {numnums;lennums.size();for(auto val:nums)sumval;if(sum%k!0)return false;buckets.resize(k);targetsum/k;return dfs(0);}bool dfs(int index){if(indexlen){for(int i0;ibuckets.size();i){if(buckets[i]!target)return false;}return true;}for(int i0;ibuckets.size();i){if(buckets[i]num[index]target)continue;buckets[i]num[index];if(dfs(index1))return true;buckets[i]-num[index];}return false;}};
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