it网站开发,wordpress怎么用二级域名,加入google广告wordpress,蜜桃传媒文章目录 abstract正弦函数正弦型函数转动相关概念旋转角速度转动周期转动频率初相小结 余弦函数的图象与性质性质 正切函数的图象和性质由已知三角函数值求角任意角范围内反三角函数(限定范围内)反正弦反余弦反正切 abstract
讨论 sin , cos , tan \sin,\cos,\tan s… 文章目录 abstract正弦函数正弦型函数转动相关概念旋转角速度转动周期转动频率初相小结 余弦函数的图象与性质性质 正切函数的图象和性质由已知三角函数值求角任意角范围内反三角函数(限定范围内)反正弦反余弦反正切 abstract
讨论 sin , cos , tan \sin,\cos,\tan sin,cos,tan的图象性质,这些性质可以借助单位圆分析 y cos x y\cos{x} ycosx:余弦曲线 y sin x y\sin{x} ysinx:正弦曲线 y tan x y\tan{x} ytanx:正切曲线
正弦线和正弦曲线余弦曲线正切线和正切曲线
正弦函数 y sin x y\sin{x} ysinx, x ∈ R x\in\mathbb{R} x∈R是正弦函数,其中自变量 x x x是弧度值 定义域: R \mathbb{R} R值域: [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1] 当 x − π 2 2 k π x-\frac{\pi}{2}2k\pi x−2π2kπ, k ∈ Z k\in\mathbb{Z} k∈Z时取得最小值 − 1 -1 −1当 x π 2 2 k π x\frac{\pi}{2}2k\pi x2π2kπ, k ∈ Z k\in\mathbb{Z} k∈Z时取得最大值1 有界性: ∣ sin x ∣ ⩽ 1 |\sin{x}|\leqslant{1} ∣sinx∣⩽1奇偶性:奇函数周期性:最小正周期为 2 π 2\pi 2π单调性: [ − π 2 2 k π , π 2 2 k π ] [-\frac{\pi}{2}2k\pi,\frac{\pi}{2}2k\pi] [−2π2kπ,2π2kπ]为递增区间; [ π 2 2 k π , 3 π 2 2 k π ] [\frac{\pi}{2}2k\pi,\frac{3\pi}{2}2k\pi] [2π2kπ,23π2kπ]为递减区间; k ∈ Z k\in\mathbb{Z} k∈Z 正弦函数刻画的是弧度 x x x对应的正弦值 sin x \sin{x} sinx
正弦型函数 y A sin ( ω x ϕ ) yA\sin(\omega{x}\phi) yAsin(ωxϕ),称为正弦型函数相比于正弦函数 y sin x y\sin{x} ysinx, y A sin ( ω x ϕ ) yA\sin(\omega{x}\phi) yAsin(ωxϕ)增加了两个影响函数的参数 A , ω , ϕ A,\omega,\phi A,ω,ϕ(它们不是变量,而都是常数)这个函数在物理应用中很常见,具有明显的物理意义正弦型函数和仍可以用圆周运动来描述: 设直角坐标系中某点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)绕着原点 O O O以半径为 R R R的圆轨迹作角速度为 ω \omega ω rad/s的圆周运动设旋转前 P P P的位置为 P 0 P_0 P0,且 O P OP OP是 ϕ \phi ϕ的终边经过 t t t秒后,点 P P P来到了新位置,且 O P OP OP是 ϕ ω t \phi\omega{t} ϕωt的终边容易算得 P P P的坐标 ( x , y ) (x,y) (x,y)关于时间 t t t的函数关系 x R cos ( ω t ϕ ) xR\cos(\omega{t}\phi) xRcos(ωtϕ) y R sin ( ω t ϕ ) yR\sin(\omega{t}\phi) yRsin(ωtϕ)推导方式如下: 在直角坐标系 x O y xOy xOy上,令角 ϕ \phi ϕ的顶点为 O O O坐标原点重合, ϕ \phi ϕ的始边与 x x x轴正半轴重合并以 O O O为圆心构造单位圆, ϕ \phi ϕ与单位圆的交点的坐标为 E ( cos ϕ , sin ϕ ) E(\cos\phi,\sin{\phi}) E(cosϕ,sinϕ)而 P 0 P_0 P0也是 ϕ \phi ϕ终边上的点,且 O P 0 R OP_0R OP0R;则 P 0 P_0 P0的坐标 ( P 0 x , P 0 y ) (P_{0x},P_{0y}) (P0x,P0y)是 E E E的坐标 ( sin α , cos α ) (\sin\alpha,\cos\alpha) (sinα,cosα)的 R R R倍: P 0 x R cos ϕ P_{0x}R\cos\phi P0xRcosϕ, P 0 y R sin ϕ P_{0y}R\sin\phi P0yRsinϕ对于终边 ω t ϕ \omega{t}\phi ωtϕ上的 P P P点坐标为 ( R cos ( ω t ϕ ) , R sin ( ω t ϕ ) ) (R\cos(\omega{t}\phi),R\sin(\omega{t}\phi)) (Rcos(ωtϕ),Rsin(ωtϕ)) 这就得到了正弦型函数 y A sin ( ω x ϕ ) yA\sin(\omega{x}\phi) yAsin(ωxϕ)
转动相关概念
旋转角速度
坐标系内的点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)绕点 O O O在单位时间内旋转过的角的弧度数 ω \omega ω
转动周期 y R sin ( ω t ϕ ) yR\sin(\omega{t}\phi) yRsin(ωtϕ)中,点 P P P旋转一周所需要的时间为 T 2 π ω T\frac{2\pi}{\omega} Tω2π,这个时间也称为转动周期 令 α ω t ϕ \alpha\omega{t}\phi αωtϕ,设函数 y y y的最小正周期为 T 0 T_0 T0,则 y ( t T 0 ) y(tT_0) y(tT0) y ( t ) y(t) y(t)即 R sin ( ω ( t T 0 ) ϕ ) R\sin(\omega{(tT_0)}\phi) Rsin(ω(tT0)ϕ) R sin ( ω t ϕ ) R\sin(\omega{t}\phi) Rsin(ωtϕ),即 sin ( ( ω t ϕ ) ω T 0 ) \sin((\omega{t}\phi)\omega T_0) sin((ωtϕ)ωT0) sin ( ω t ϕ ) \sin(\omega{t}\phi) sin(ωtϕ)所以 sin ( α T 0 ) sin ( α ) \sin(\alphaT_0)\sin(\alpha) sin(αT0)sin(α) sin α \sin\alpha sinα的周期为 2 π 2\pi 2π,那么 ω T 0 \omega{T_0} ωT0 2 π 2\pi 2π,所以 T 0 2 π ω T_{0}\frac{2\pi}{\omega} T0ω2π 此外,还可以从坐标的伸缩角度来得到转动周期计算公式 例: sin ( k x ) \sin(kx) sin(kx), k 1 , 2 , 3 , ⋯ , n k1,2,3,\cdots,n k1,2,3,⋯,n时,在 [ 0 , 2 π ] [0,2\pi] [0,2π]内取得最大值1的极值点(满足 k x π 2 kx\frac{\pi}{2} kx2π)分别是: π 2 \frac{\pi}{2} 2π, π 4 \frac{\pi}{4} 4π, π 6 \frac{\pi}{6} 6π, ⋯ \cdots ⋯, π 2 n \frac{\pi}{2n} 2nπ
转动频率
一秒内,点 P P P旋转的周数 f 1 T f\frac{1}{T} fT1 ω 2 π \frac{\omega}{2\pi} 2πω,称为转动的频率
初相
角 ϕ \phi ϕ也叫做初相
小结
转动周期(转动频率)只和 ω \omega ω相关,而与 ϕ \phi ϕ无关 ω \omega ω越大,在一定区间内曲线波动的次数就越多,反之越少
余弦函数的图象与性质
我们可以通过诱导公式 y sin ( π 2 x ) y\sin(\frac{\pi}{2}x) ysin(2πx) cos x \cos{x} cosx得知, y cos x y\cos{x} ycosx的图象和 sin ( π 2 x ) \sin(\frac{\pi}{2}x) sin(2πx)的图象相同所以可以通过研究正弦型函数来研究余弦函数(正弦函数向左平移2个单位就可以得到余弦函数的图象)此外,余弦型函数 y A cos ( ω x ϕ ) yA\cos(\omega{x}\phi) yAcos(ωxϕ)可以转换为 y A sin ( ω x ϕ π 2 ) yA\sin(\omega{x}\phi\frac{\pi}{2}) yAsin(ωxϕ2π)
性质
定义域和值域和周期同正弦函数 当且仅当 x π 2 k π x\pi2k\pi xπ2kπ, k ∈ Z k\in\mathbb{Z} k∈Z时,取得最小值 − 1 -1 −1当且仅当 x 2 k π x2k\pi x2kπ, k ∈ Z k\in\mathbb{Z} k∈Z时,余弦函数取值得最大值1 奇偶性:偶函数单调性: [ 2 k π , π 2 k π ] [2k\pi,\pi2k\pi] [2kπ,π2kπ], k ∈ Z k\in\mathbb{Z} k∈Z时函数单调递减; [ π 2 k π , 2 π 2 k π ] [\pi2k\pi,2\pi2k\pi] [π2kπ,2π2kπ], k ∈ Z k\in\mathbb{Z} k∈Z函数单调递增
正切函数的图象和性质
定义域: { x ∣ x ≠ k π π 2 , k ∈ Z } \set{x|x\neq{k\pi\frac{\pi}{2}},k\in\mathbb{Z}} {x∣xkπ2π,k∈Z},值域: R \mathbb{R} R 在区间 ( − π 2 , π 2 ) (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) (−2π,2π)内,当 x π 2 x\frac{\pi}{2} x2π且无限接近 π 2 \frac{\pi}{2} 2π时, tan x \tan{x} tanx趋于无限大,记为 tan x → ∞ \tan{x}\to{\infin} tanx→∞另一侧有 x → − π 2 x\to{-\frac{\pi}{2}} x→−2π时 tan x → − ∞ \tan{x}\to{-\infin} tanx→−∞ 周期: π \pi π 由 tan ( π x ) \tan(\pix) tan(πx) tan x \tan{x} tanx,所以 π \pi π是 tan x \tan{x} tanx的一个周期并且结合单位圆中的正弦线,容易说明最小正周期为 π \pi π 奇偶性:奇函数单调性: ( − π 2 k π , π 2 k π ) (-\frac{\pi}{2}k\pi,\frac{\pi}{2}k\pi) (−2πkπ,2πkπ), k ∈ Z k\in\mathbb{Z} k∈Z区间内函数单调增加
由已知三角函数值求角
任意角范围内
通常可以用单位圆来求解具有给定三角函数值对应的弧度角例如:已知 sin x 2 2 \sin{x}\frac{\sqrt{2}}{2} sinx22 ,求 x x x的可能取值 x ∈ [ − π 2 , π 2 ] x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] x∈[−2π,2π]条件下 x x x的取值 解: 由单位圆可知, π 4 2 k π \frac{\pi}{4}2k\pi 4π2kπ, ( π − π 4 ) 2 k π (\pi-\frac{\pi}{4})2k\pi (π−4π)2kπ, ( k ∈ Z ) (k\in\mathbb{Z}) (k∈Z)都满足 sin x 2 2 \sin{x}\frac{\sqrt{2}}{2} sinx22 , 用集合表示为: { x ∣ x 2 k π π 4 ( k ∈ Z ) } \set{x|x2k\pi\frac{\pi}{4}(k\in{\mathbb{Z}})} {x∣x2kπ4π(k∈Z)} ⋃ \bigcup ⋃ { x ∣ x 2 k π 3 π 4 ( k ∈ Z ) } \set{x|x2k\pi\frac{3\pi}{4}(k\in\mathbb{Z})} {x∣x2kπ43π(k∈Z)} 若 x ∈ [ − π 2 , π 2 ] x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] x∈[−2π,2π],由单位圆可知, x π 4 x\frac{\pi}{4} x4π
反三角函数(限定范围内)
已知三角函数值求角的过程的所建立的函数称为反三角函数由于单射函数才有反函数,反三角函数根据限定三角函数内的一段单调区间定义出来
反正弦
一般地,对于正弦函数 y sin x y\sin{x} ysinx,若已知函数值为 y ( y ∈ [ − 1 , 1 ] ) y(y\in[-1,1]) y(y∈[−1,1]),那么 [ − π 2 , π 2 ] [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] [−2π,2π]上由唯一的 x x x值和它对应,记为 x arcsin y x\arcsin{y} xarcsiny,(其中 − 1 ⩽ y ⩽ 1 -1\leqslant{y}\leqslant{1} −1⩽y⩽1, − π 2 ⩽ x ⩽ π 2 -\frac{\pi}{2}\leqslant{x}\leqslant{\frac{\pi}{2}} −2π⩽x⩽2π)例如: sin x 1 2 \sin{x}\frac{1}{2} sinx21, x ∈ [ − π 2 , π 2 ] x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] x∈[−2π,2π],求 x x x的问题可以表示为 arcsin 1 2 \arcsin{\frac{1}{2}} arcsin21
反余弦
在区间 [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π]上符合条件 cos x y \cos{x}y cosxy, ( y ∈ [ − 1 , 1 ] ) (y\in[-1,1]) (y∈[−1,1])的求角 x x x,记为 x arccos y x\arccos{y} xarccosy例 arccos 1 2 π 3 \arccos{\frac{1}{2}}\frac{\pi}{3} arccos213π已知 cos x − 2 2 \cos{x}-\frac{\sqrt{2}}{2} cosx−22 ,且 x ∈ [ 0 , 2 π ] x\in[0,2\pi] x∈[0,2π],求 x x x的取值集合 由单位圆可知,解集为 { 3 π 4 , 5 π 4 } \set{\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4}} {43π,45π}用反余弦函数表示: { arccos ( − 2 2 ) , π arccos 2 2 } \set{\arccos{(-\frac{\sqrt{2}}{2})},\pi\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}} {arccos(−22 ),πarccos22 }
反正切
一般地,若 tan x y ( y ∈ R ) \tan{x}y(y\in\mathbb{R}) tanxy(y∈R),且 x ∈ ( − π 2 , π 2 ) x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) x∈(−2π,2π),那么对每一个正切值 y y y,在开区间 ( − π 2 , π 2 ) (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) (−2π,2π)内,有且只有一个角 x x x满足 tan x y \tan{x}y tanxy,记为 x arctan y x\arctan{y} xarctany, x ∈ ( − π 2 , π 2 ) x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) x∈(−2π,2π)例如 arctan 3 3 \arctan{\frac{\sqrt{3}}{3}} arctan33 π 6 \frac{\pi}{6} 6π 文章转载自： http://www.morning.guofenmai.cn.gov.cn.guofenmai.cn http://www.morning.kpbgvaf.cn.gov.cn.kpbgvaf.cn http://www.morning.msgcj.cn.gov.cn.msgcj.cn http://www.morning.rykw.cn.gov.cn.rykw.cn http://www.morning.ndyrb.com.gov.cn.ndyrb.com http://www.morning.trjr.cn.gov.cn.trjr.cn http://www.morning.mmzfl.cn.gov.cn.mmzfl.cn http://www.morning.dshkp.cn.gov.cn.dshkp.cn http://www.morning.wnkqt.cn.gov.cn.wnkqt.cn http://www.morning.rjnm.cn.gov.cn.rjnm.cn http://www.morning.srky.cn.gov.cn.srky.cn http://www.morning.wtwhj.cn.gov.cn.wtwhj.cn http://www.morning.dskmq.cn.gov.cn.dskmq.cn http://www.morning.yccnj.cn.gov.cn.yccnj.cn http://www.morning.hcsnk.cn.gov.cn.hcsnk.cn http://www.morning.kgltb.cn.gov.cn.kgltb.cn http://www.morning.qwfq.cn.gov.cn.qwfq.cn http://www.morning.bssjp.cn.gov.cn.bssjp.cn http://www.morning.hnzrl.cn.gov.cn.hnzrl.cn http://www.morning.tralution.cn.gov.cn.tralution.cn http://www.morning.nbwyk.cn.gov.cn.nbwyk.cn http://www.morning.jjmrx.cn.gov.cn.jjmrx.cn http://www.morning.qxycf.cn.gov.cn.qxycf.cn http://www.morning.nyqnk.cn.gov.cn.nyqnk.cn http://www.morning.tpnch.cn.gov.cn.tpnch.cn http://www.morning.wjyyg.cn.gov.cn.wjyyg.cn http://www.morning.fbpdp.cn.gov.cn.fbpdp.cn http://www.morning.swkzk.cn.gov.cn.swkzk.cn http://www.morning.youprogrammer.cn.gov.cn.youprogrammer.cn http://www.morning.ghjln.cn.gov.cn.ghjln.cn http://www.morning.gfnsh.cn.gov.cn.gfnsh.cn http://www.morning.mxmzl.cn.gov.cn.mxmzl.cn http://www.morning.kpyyf.cn.gov.cn.kpyyf.cn http://www.morning.ptqpd.cn.gov.cn.ptqpd.cn http://www.morning.hrtwt.cn.gov.cn.hrtwt.cn http://www.morning.zxqyd.cn.gov.cn.zxqyd.cn http://www.morning.rahllp.com.gov.cn.rahllp.com http://www.morning.jpkk.cn.gov.cn.jpkk.cn http://www.morning.flmxl.cn.gov.cn.flmxl.cn http://www.morning.hffjj.cn.gov.cn.hffjj.cn http://www.morning.dzgyr.cn.gov.cn.dzgyr.cn http://www.morning.lbbrw.cn.gov.cn.lbbrw.cn http://www.morning.pcqdf.cn.gov.cn.pcqdf.cn http://www.morning.lizimc.com.gov.cn.lizimc.com http://www.morning.wpwyx.cn.gov.cn.wpwyx.cn http://www.morning.wgcng.cn.gov.cn.wgcng.cn http://www.morning.tslfz.cn.gov.cn.tslfz.cn http://www.morning.rgrdd.cn.gov.cn.rgrdd.cn http://www.morning.xjnw.cn.gov.cn.xjnw.cn http://www.morning.ynlpy.cn.gov.cn.ynlpy.cn http://www.morning.gwgjl.cn.gov.cn.gwgjl.cn http://www.morning.rrxnz.cn.gov.cn.rrxnz.cn http://www.morning.trhrk.cn.gov.cn.trhrk.cn http://www.morning.jtsdk.cn.gov.cn.jtsdk.cn http://www.morning.zjcmr.cn.gov.cn.zjcmr.cn http://www.morning.mbmh.cn.gov.cn.mbmh.cn http://www.morning.dwfxl.cn.gov.cn.dwfxl.cn http://www.morning.wpmqq.cn.gov.cn.wpmqq.cn http://www.morning.touziyou.cn.gov.cn.touziyou.cn http://www.morning.tyjp.cn.gov.cn.tyjp.cn http://www.morning.xpwdf.cn.gov.cn.xpwdf.cn http://www.morning.sjsks.cn.gov.cn.sjsks.cn http://www.morning.tkgjl.cn.gov.cn.tkgjl.cn http://www.morning.kdtdh.cn.gov.cn.kdtdh.cn http://www.morning.xbnkm.cn.gov.cn.xbnkm.cn http://www.morning.fwrr.cn.gov.cn.fwrr.cn http://www.morning.tsyny.cn.gov.cn.tsyny.cn http://www.morning.snrhg.cn.gov.cn.snrhg.cn http://www.morning.ljzss.cn.gov.cn.ljzss.cn http://www.morning.frmmp.cn.gov.cn.frmmp.cn http://www.morning.stcds.cn.gov.cn.stcds.cn http://www.morning.xjkr.cn.gov.cn.xjkr.cn http://www.morning.rzcfg.cn.gov.cn.rzcfg.cn http://www.morning.gxeqedd.cn.gov.cn.gxeqedd.cn http://www.morning.gqnll.cn.gov.cn.gqnll.cn http://www.morning.lngyd.cn.gov.cn.lngyd.cn http://www.morning.xkhxl.cn.gov.cn.xkhxl.cn http://www.morning.dncgb.cn.gov.cn.dncgb.cn http://www.morning.errnull.com.gov.cn.errnull.com http://www.morning.mkbc.cn.gov.cn.mkbc.cn
