站群 wordpress,mvc 门户网站开发框架,网站建设方案,电子产品开发流程文章目录 零、前言一、红娘牵线二、二分图最大匹配2.1概念2.2交替路2.3增广路2.4匈牙利算法2.4.1算法原理2.4.2算法示例2.4.3代码实现 3.OJ练习3.1模板3.2棋盘覆盖3.3車的放置 零、前言 关于二分图的基本知识见#xff1a;二分图及染色法判定 一、红娘牵线
一位红娘近日遇到一… 文章目录 零、前言一、红娘牵线二、二分图最大匹配2.1概念2.2交替路2.3增广路2.4匈牙利算法2.4.1算法原理2.4.2算法示例2.4.3代码实现 3.OJ练习3.1模板3.2棋盘覆盖3.3車的放置 零、前言 关于二分图的基本知识见二分图及染色法判定 一、红娘牵线
一位红娘近日遇到一群暧昧男女被请求成全他们经验丰富的红娘观察到一名男生可能有多名青睐的女生一名女生也可能有多名青睐的男生但是出于道德伦理要求显然只能两两男女配对为了尽可能使大家满意她要尽可能地成全多对男女。经过观察她发现这些男女间地暧昧关系如下连线代表互相青睐 红娘根据经验快速地进行了一次配对男一配女二男儿配女四男三配女三。
下图红色连线代表配对此时女一和男四没有配对 配对的三对男女自然很满意此时女一和男四悻悻地来找红娘说他们两个怎么办红娘看二人不愿凑合都想有心仪的归宿男四只愿跟女二在一起女一只愿跟男三在一起。
红娘于是只得回头看已经配对的三对男女发现男一似乎对女三也有意思但是女三已经跟男三配对了于是红娘私底下找到男三问他愿不愿意将女三让给男一自己可以帮他跟女一牵线男三一看这敢情好直接答应于是男三的对象变为了女一男一的对象变为了女三男四趁虚而入和女二配对于是有了下面的局面 至此每个人都有和自己的心仪对象之一配了对中间虽有ntr波折但结局皆大欢喜。 二、二分图最大匹配
2.1概念
“任意两条边都没有公共端点”的边的集合被称为图的一组匹配。在二分图中包含边数最多的一组匹配被称为二分图的最大匹配。
上面的红娘牵线其实就是二分图的最大匹配的形象示例。
我们称匹配的边为匹配边匹配边的两个端点为匹配点相应的自然有了非匹配边和非匹配点的概念。
2.2交替路
从一个非匹配点出发依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边形成的路径叫交替路。
2.3增广路
从一个未匹配点出发走交替路若能到达另一个未匹配点则这条交替路称为增广路。
增广路显然有如下性质
长度len为奇数路径上第1、3、5……len条边是非匹配边第2、4……len - 1条边是匹配边
正因为以上性质如果我们把路径上所有边的状态取反原来的匹配边变成非匹配边原来的非匹配边变成匹配边那么得到的新的边集仍然是一组匹配并且匹配边数1.
从而得到以下推论
二分图的一组匹配是最大匹配当且仅当图中不存在包含该匹配的增广路。
2.4匈牙利算法
**匈牙利算法Hungary Algorithm**又称牛头人算法增广路算法用于计算二分图的最大匹配。
2.4.1算法原理
算法流程十分简单
设匹配边集S Ø即所有边都是非匹配边找到增广路path将增广路上所有边状态取反得到更大的匹配S‘重复2直到没有增广路
算法的关键在于如何找到增广路。
我们将二分图的点分为左部节点和右部节点匈牙利算法依次尝试给给每一个左部节点u寻找一个匹配的右部节点v。右部节点v能和左部节点u匹配需要满足以下两个条件之一
v本身就是非匹配点 此时u~v为长度为1的增广路 v已经跟左部节点u’匹配但是从u‘出发能找到另一个右部节点v’和其匹配。 此时uvu‘~v’就是一条增广路
在具体的程序实现中我们采用深度优先搜索的框架递归的从u出发去找增广路若找到则在回溯时正好把路径上的匹配状态取反。另外可以用全局标记数组来维护节点的访问情况避免重复搜索。
匈牙利算法的正确性基于贪心策略它的一个重要特点是当一个节点成为匹配点后至多因为找到增广路而更换匹配对象但是绝不会再变回非匹配点。 对于每个左部节点寻找增广路最多遍历整张二分图一次。因此,该算法的时间复杂度为O(nm)其中n为点数目m为边数目。
2.4.2算法示例
有二分图如下左部节点1、2、3、4右部节点1、2、3、4 左1匹配右1 左2尝试匹配右1失败 左2匹配右3 左3匹配右2 左4尝试匹配右3递归左2尝试匹配右1失败 左2继续尝试匹配右4成功找到增广路 回溯时把增广路取反左4得以匹配右3 2.4.3代码实现
bool dfs(int u)
{for (int i head[u]; ~i; i edges[i].nxt){int v edges[i].v;if (vis[v])continue;vis[v] 1;if (!match[v] || dfs(match[v])){match[v] u;return true;}}return false;
}
//main
for (int i 1; i n; i)
{memset(vis, 0, sizeof(vis));if (dfs(i))cnt;
}3.OJ练习
二分图匹配的模型有两个要素 1.节点能分成独立的两个集合每个集合内部有0条边。 2.每个节点只能与1条匹配边相连。 我们把它简称为“0要素”和“1要素”。在把实际问题抽象成二分图匹配时我们就要寻找题目中具有这种“0”和“1”性质的对象从而发现模型构建的突破口。
3.1模板
P3386 【模板】二分图最大匹配 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
洛谷模板题检验以下自己的匈牙利算法板子是否正确以便于在后续问题中使用。
#include iostream
#include cstring
#include queue
#include algorithm
#include string
using namespace std;
using pii pairint, int;
#define N 510
#define M 50010
struct edge
{int v, nxt;
} edges[M 1];
int head[N], match[N]{0}, idx 0, n, m, e, a, b, cnt 0;
bool vis[N];
void addedge(int u, int v)
{edges[idx] {v, head[u]};head[u] idx;
}
bool dfs(int u)
{for (int i head[u]; ~i; i edges[i].nxt){int v edges[i].v;if (vis[v])continue;vis[v] 1;if (!match[v] || dfs(match[v])){match[v] u;return true;}}return false;
}
signed main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0), cout.tie(0);// freopen(in.txt, r, stdin);// freopen(out.txt, w, stdout);memset(head, -1, sizeof(head));cin n m e;for (int i 1; i e; i){cin a b;addedge(a, b);}for (int i 1; i n; i){memset(vis, 0, sizeof(vis));if (dfs(i))cnt;}cout cnt;return 0;
}3.2棋盘覆盖
372. 棋盘覆盖 - AcWing题库
首先对于一个矩阵而言我们根据行列坐标相加的奇偶性可以对其进行二染色并且任何一个格子和其四个方向上的相邻格子颜色不同。 这样我们就可以将问题抽象为二分图匹配问题。
0要素同色格子之间无边 1要素每个格子只能被一张骨牌覆盖
一个骨牌一定是覆盖了两个颜色不同的方格我们按照颜色将格子分为左部点和右部点被骨牌覆盖的两个左右部点即为一个匹配求最多的骨牌数目就是求最大匹配。
基本上还是板子题由于数据量很小所以用了邻接矩阵由于有的格子不能放置所以要加个条件。
奇数格子还是偶数格子作为左部点没有区别。
直接看代码
#include iostream
#include cstring
#include queue
#include algorithm
#include string
using namespace std;
using pii pairint, int;
#define N 110
#define M 50010
int n, t, a, b, cnt 0, dir[5]{1, 0, -1, 0, 1};pii match[N][N];
bool g[N][N], vis[N][N];
bool dfs(int x, int y)
{for (int i 0; i 4; i){int nx x dir[i], ny y dir[i 1];int pos (nx - 1) * n ny;if (nx 1 || ny 1 || nx n || ny n || vis[nx][ny] || g[nx][ny])continue;vis[nx][ny] 1;if (match[nx][ny].first -1 || dfs(match[nx][ny].first, match[nx][ny].second)){match[nx][ny] {x, y};return true;}}return false;
}
signed main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0), cout.tie(0);memset(g, 0, sizeof(g));memset(match, -1, sizeof(match));cin n t;while (t--){cin a b;g[a][b] 1;}for (int i 1; i n; i){for (int j (i 1) ? 1 : 2; j n; j 2){if (!g[i][j]){memset(vis, 0, sizeof(vis));if (dfs(i, j))cnt;}}}cout cnt;return 0;
}3.3車的放置
373. 車的放置 - AcWing题库
1要素每行每列只能有一个车对于(i,j)放置车相当于i行j列都被占用即i行和j列连边
0要素一个车不能既在第i行又在第j行所以行与行之间无边
#include iostream
#include cstring
#include queue
#include algorithm
#include string
using namespace std;
using pii pairint, int;
#define N 210
#define M 50010
int n, m, t, a, b, cnt 0, dir[5]{1, 0, -1, 0, 1};int match[N]{0};
bool g[N][N]{0}, vis[N];
bool dfs(int i)
{for (int j 1; j m; j){if (g[i][j] || vis[j])continue;vis[j] 1;if (!match[j] || dfs(match[j])){match[j] i;return true;}}return false;
}
signed main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0), cout.tie(0);cin n m t;while (t--){cin a b;g[a][b] 1;}for (int i 1; i n; i){memset(vis, 0, sizeof(vis));if (dfs(i))cnt;}cout cnt;return 0;
}
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