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状态压缩 容斥原理 组合数学 二分查找算法合集
LeetCode100267. 单面值组合的第 K 小金额
给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币#xff0c;另给你一个整数 k 。 你有无限量的每种面额的硬币。但是#xff0c;你 不能 组合使用不同面额的硬币。 返回…本文涉及知识点
状态压缩 容斥原理 组合数学 二分查找算法合集
LeetCode100267. 单面值组合的第 K 小金额
给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币另给你一个整数 k 。 你有无限量的每种面额的硬币。但是你 不能 组合使用不同面额的硬币。 返回使用这些硬币能制造的 第 kth 小 金额。 示例 1 输入 coins [3,6,9], k 3 输出 9 解释给定的硬币可以制造以下金额 3元硬币产生3的倍数3, 6, 9, 12, 15等。 6元硬币产生6的倍数6, 12, 18, 24等。 9元硬币产生9的倍数9, 18, 27, 36等。 所有硬币合起来可以产生3, 6, 9, 12, 15等。 示例 2 输入coins [5,2], k 7 输出12 解释给定的硬币可以制造以下金额 5元硬币产生5的倍数5, 10, 15, 20等。 2元硬币产生2的倍数2, 4, 6, 8, 10, 12等。 所有硬币合起来可以产生2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 15等。 提示 1 coins.length 15 1 coins[i] 25 1 k 2 * 109 coins 包含两两不同的整数。
容斥原理小于等于mid的金额数量
如果不考虑重复 ∑ i : n − 1 m i d / c o i n s [ i ] \sum_{i:}^{n-1}mid/coins[i] ∑i:n−1mid/coins[i] 考虑重复则很复杂。 以mid 12为例子f(x) 表示用面值x的金币能过组成小于等于mid的金额数量 a , coins {2,3} 面值2的倍数2,4,6,8,10,12 f(2)6其中重复2个。 面值3的倍数3,6,9,12 f(3) 4 ,重复2个。 总数量f(2)f(3)-f(6) 6-4-28。6是最小公倍数LCM bcoins {2,3,5} 面值5的倍数5,10 2 ,其中重复一个。 新增加的数 f(5) - f(LCM(5,2))-f(LCM(3,5)) 如果一个数 同时10和15的倍数则减重复了要加回来 及 f(5) - f(LCM(5,2))-f(LCM(3,5)) f(LCM(2,3,5))
注意 C有系统函数 lcm
二分
令 cnt(mid) 是小于等于mid的金额数。如果cnt(mid) k则mid一定不是解。我们要求第个一 cnt(mid)k 。 故用左开右闭空间。
单调性证明
mid1 mid2 如果cnt(mid1)k 成立则cnt(mid2)k 成立 因为(mid1,mid2]中的数要么让返回值1要么让返回值不变。同理 cnt(mid2)k 不成立则cnt(mid1)k也不成立。
代码
核心代码
class Solution {
public:long long findKthSmallest(vectorint coins, int k) {m_coins coins; long long left 0, right 1000000000000LL;while (right - left 1) {const auto mid left (right - left) / 2;if (Count(mid) k) {right mid;}else{left mid;}}return right;}long long Count(long long mid) {vectorvectorlong long vMask; long long llRet 0;for (const auto n : m_coins) {vectorvectorlong long vMask2;for (const auto v : vMask) {vectorlong long v2;for (const auto llMask : v) {const long long tmp lcm(llMask, n);if (tmp mid) {v2.emplace_back(tmp);} }vMask2.emplace_back(v2);}vMask2.emplace_back();vMask2.back().emplace_back(n);for (int i 1; i vMask2.size(); i) {vMask2[i].insert(vMask2[i].end(), vMask[i - 1].begin(), vMask[i - 1].end());} vMask2.swap(vMask);}for (int i 0; i vMask.size(); i) {for (const auto iMask : vMask[vMask.size() - 1 - i]) {llRet (1 i) ? -mid / iMask : mid / iMask;}}return llRet;}vectorint m_coins;
};测试用例
int main()
{vectorint nums { 3,6,9 };int k;{Solution sln;nums { 2,3,5,7,11,13,17,19,23,25,20,18 }, k 1000000000;auto res sln.findKthSmallest(nums, k);Assert(9LL, res);}{Solution sln;nums { 3,6,9 }, k 3;auto res sln.findKthSmallest(nums, k);Assert(9LL, res);}}用状态压缩优化代码量通过前置状态计算后置状态)
class Solution {
public:long long findKthSmallest(vectorint coins, int k) { const int iMaskCount 1 coins.size();vectorint v01(iMaskCount),vLCM(iMaskCount,-1);vectorint vMask[2];//vMask[0] 记录 偶数个数的最小公倍数vMask[1]记录奇数个数的最小公倍数v01[0] 0;vLCM[0] 1;for (int iMask 0; iMask iMaskCount; iMask) {for (int j 0; j coins.size(); j) {if (!((1 j) iMask)) {const int iNewMask (1 j) | iMask;if (-1 ! vLCM[iNewMask]) { continue; }v01[iNewMask] v01[iMask] ^ 1;vLCM[iNewMask] lcm(vLCM[iMask], coins[j]);vMask[v01[iNewMask]].emplace_back(vLCM[iNewMask]); }}}long long left 0, right 1000000000000LL;while (right - left 1) {const auto mid left (right - left) / 2;long long cnt 0;for (const auto ll : vMask[0]) {cnt - mid / ll;}for (const auto ll : vMask[1]) {cnt mid / ll;}if (cnt k) {right mid;}else{left mid;}}return right;}
};用状态压缩优化代码量计算后置状态)
class Solution {
public:long long findKthSmallest(vectorint coins, int k) { const int iMaskCount 1 coins.size(); vectorlong long vMask[2];//vMask[0] 记录 偶数个数的最小公倍数vMask[1]记录奇数个数的最小公倍数vectorlong long v01(iMaskCount), vLCM(iMaskCount, -1);{ v01[0] 0;vLCM[0] 1;for (int i 0; i coins.size(); i) {vLCM[1 i] coins[i];}for (int iNewMask 1; iNewMask iMaskCount; iNewMask) {const int iMask (iNewMask - 1) iNewMask;v01[iNewMask] v01[iMask] ^ 1;vLCM[iNewMask] lcm(vLCM[iMask], vLCM[iNewMask - iMask]);vMask[v01[iNewMask]].emplace_back(vLCM[iNewMask]);}}long long left 0, right 1000000000000LL;while (right - left 1) {const auto mid left (right - left) / 2;long long cnt 0;for (const auto ll : vMask[0]) {cnt - mid / ll;}for (const auto ll : vMask[1]) {cnt mid / ll;}if (cnt k) {right mid;}else{left mid;}}return right;}
};扩展阅读
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测试环境
操作系统win7 开发环境 VS2019 C17 或者 操作系统win10 开发环境 VS2022 C17 如无特殊说明本算法用**C**实现。
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