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函数的微分是指对函数的局部变化的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时#xff0c;函数的值是怎样改变的。。对于函数 y f ( x ) y f(x) yf(x) 的微分记作#xff1a; d y f ′ ( x ) d x d_y f^{}(x)d_x dyf′(x)dx 微分和…微分
函数的微分是指对函数的局部变化的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时函数的值是怎样改变的。。对于函数 y f ( x ) y f(x) yf(x) 的微分记作 d y f ′ ( x ) d x d_y f^{}(x)d_x dyf′(x)dx 微分和导数的区别在于导数是曲线在那个点的切线斜率而微分是那个切线的一元线性方程。 微分的几何意义是用局部切线段近似代替曲线段即非线性函数局部线性化。
积分
积分可以分为定积分和不定积分两种。
定积分
对于函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [a,b] 上定积分记作 ∫ b a f ( x ) d x \int^{a}_{b}f(x)d_x ∫baf(x)dx 其几何意义为函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间[a,b]上的覆盖面积如下图
不定积分
不定积分是导数的逆运算即反导数。当 f f f是 F F F的导数时则 F F F是 f f f的不定积分。常用公式如下 ∫ a d x a x C \int ad_x ax C ∫adxaxC ∫ x a d x 1 a 1 x a 1 C \int x^{a}d_x {1\over a1}x^{a1} C ∫xadxa11xa1C ∫ 1 x l n ∣ x ∣ C \int {1 \over x} ln|x| C ∫x1ln∣x∣C ∫ a x d x a x l n a C \int {a^xdx} {a^x\over lna} C ∫axdxlnaaxC ∫ s i n x d x − c o s x C \int sin\ x\ dx -cos\ x C ∫sin x dx−cos xC ∫ c o s x d x s i n x C \int cos\ x\ dx sin\ x C ∫cos x dxsin xC ∫ t a n x d x − l n ∣ c o s x ∣ C \int tan\ x\ dx -ln|cos\ x| C ∫tan x dx−ln∣cos x∣C
泰勒公式
用多项式拟合原函数 f ( x ) f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 . . . f n ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n . . . f(x) f(x_0) f^{}(x_0)(x - x_0) {f^{}(x_0) \over 2!}(x - x_0)^2 ... {f^{n}(x_0) \over n!}(x - x_0)^n ... f(x)f(x0)f′(x0)(x−x0)2!f′′(x0)(x−x0)2...n!fn(x0)(x−x0)n...
几何分析
如下内容来自如何通俗地解释泰勒公式因为在 x 0 x_0 x0点的任意阶导数都为常数暂且不管对于幂函数有如下特点 多个幂函数相加 增加阶乘后效果如下 通过改变系数多项式可以像铁丝一样弯成任意的函数曲线对于 e ( x ) e(x) e(x)拟合
