甘孜州住房和城乡规划建设局网站,泸州作网站建设联系电话,wordpress写入权限,湖北建站公司这学期会时不时更新一下伊曼纽尔德曼#xff08;Emanuel Derman#xff09; 教授与迈克尔B.米勒#xff08;Michael B. Miller#xff09;的《The Volatility Smile》这本书#xff0c;本意是协助导师课程需要#xff0c;发在这里有意的朋友们可以学习一下#xff0c;思…这学期会时不时更新一下伊曼纽尔·德曼Emanuel Derman 教授与迈克尔B.米勒Michael B. Miller的《The Volatility Smile》这本书本意是协助导师课程需要发在这里有意的朋友们可以学习一下思路不一定够清晰且由于分工原因我是从书本第13章写起还请大家见谅。
第14章 局部波动率模型
股价变动方式的二叉树模型
上一章前瞻波动率 σ(t)\sigma(t)σ(t) 的推导 ∑2(t,T)1T−t∫tTσ2(s)ds{\sum}^2(t,T)\frac{1}{T-t}\int_t^T\sigma^2(s)ds ∑2(t,T)T−t1∫tTσ2(s)ds σ(t)\sigma(t)σ(t) 会随时间变化而变化同样地波动率 σ(S,t)\sigma(S,t)σ(S,t) 也会随未来的时间和股票价格两个参数的变化而变化。
我们将这种瞬时波动率 σ(S,t)\sigma(S,t)σ(S,t) 称为局部波动率以此为基础建立的模型被称为局部波动率模型。
开发局部波动率模型时需要关注的问题
能否找到独一无二的局部波动率函数或者曲面 σ(S,t)\sigma(S,t)σ(S,t)使其能够描述观察到的隐含波动率曲面 ∑(S,t,K,T)\sum(S,t,K,T)∑(S,t,K,T)如果可以这就意味着我们可以用一个股票的局部波动率过程来解释观察到的微笑曲线但是这样的解释是否有意义股票价格的变动真的会服从这个已经存在的局部波动率函数我们将会发现有很多不同的模型都能够描述隐含波动率曲面但这并不意味着这些模型是“正确的”局部波动率模型如何确定普通期权的对冲比率以及奇异期权的价值其结论和经典的BSM模型有何差异
首先假设我们已经有了一个局部波动率函数我们在此基础上建立一个二项式局部波动率模型
二项局部波动率模型
假设风险中性条件成立股票价格 S(t)S(t)S(t) 的变动服从下面的等式 dSS(r−b)dtσ(S,t)dZ\frac{dS}{S}(r-b)dt\sigma(S,t)dZ SdS(r−b)dtσ(S,t)dZ 其中 r,b,dZ,σ(S,t)r,b,dZ,\sigma(S,t)r,b,dZ,σ(S,t) 分别表示无风险利率、股票的连续股息率、标准维纳过程、局部波动率。在任意时点 ttt股价变动的方差都满足 (dS)2S2σ2(S,t)dt(dS)^2S^2\sigma^2(S,t)dt (dS)2S2σ2(S,t)dt 一个瞬时时间段 dtdtdt 之后SSS 的预期价值等于 FSe(r−b)dtFSe^{(r-b)dt} FSe(r−b)dt 也即股票的远期价格 在上述近似二叉树模型中远期价格就等于 qqq 测度下两种股票价格 Su,SdS_u,S_dSu,Sd 按照概率加权后的平均值即 FqSu(1−q)SdFqS_u(1-q)S_d FqSu(1−q)Sd 求解 qqq qF−SdSu−Sdq\frac{F-S_d}{S_u-S_d} qSu−SdF−Sd SSS 变动值的方差为 Var[dS]q(Su−F)2(1−q)(Sd−F)2Var[dS]q(S_u-F)^2(1-q)(S_d-F)^2 Var[dS]q(Su−F)2(1−q)(Sd−F)2 当 dt→0dt\to0dt→0 时(dS)2S2σ2(S,t)dt(dS)^2S^2\sigma^2(S,t)dt(dS)2S2σ2(S,t)dt 与上式相等可以得到 S2σ2(S,t)dtq(Su−F)2(1−q)(Sd−F)2S^2\sigma^2(S,t)dtq(S_u-F)^2(1-q)(S_d-F)^2 S2σ2(S,t)dtq(Su−F)2(1−q)(Sd−F)2 将 qqq 的解析式代入得 S2σ2(S,t)dtF−SdSu−Sd(Su−F)2(1−F−SdSu−Sd)(Sd−F)2S2σ2(S,t)dtF−SdSu−Sd(Su−F)2(Su−FSu−Sd)(Sd−F)2S2σ2(S,t)dt(F−Sd)(Su−F)(Su−F−SdF)Su−Sd(F−Sd)(Su−F)S^2\sigma^2(S,t)dt\frac{F-S_d}{S_u-S_d}(S_u-F)^2(1-\frac{F-S_d}{S_u-S_d})(S_d-F)^2\\S^2\sigma^2(S,t)dt\frac{F-S_d}{S_u-S_d}(S_u-F)^2(\frac{S_u-F}{S_u-S_d})(S_d-F)^2\\S^2\sigma^2(S,t)dt\frac{(F-S_d)(S_u-F)(S_u-F-S_dF)}{S_u-S_d}(F-S_d)(S_u-F) S2σ2(S,t)dtSu−SdF−Sd(Su−F)2(1−Su−SdF−Sd)(Sd−F)2S2σ2(S,t)dtSu−SdF−Sd(Su−F)2(Su−SdSu−F)(Sd−F)2S2σ2(S,t)dtSu−Sd(F−Sd)(Su−F)(Su−F−SdF)(F−Sd)(Su−F) 可以得到每个节点 SSS 对应得上行股价和下行股价 SuFS2σ2(S,t)dtF−SdSdF−S2σ2(S,t)dtSu−FS_uF\frac{S^2\sigma^2(S,t)dt}{F-S_d}\\S_dF-\frac{S^2\sigma^2(S,t)dt}{S_u-F} SuFF−SdS2σ2(S,t)dtSdF−Su−FS2σ2(S,t)dt 只要知道了 S,F,SdS,F,S_dS,F,Sd根据波动率 σ(S,t)\sigma(S,t)σ(S,t)就可以计算得到 SuS_uSu同理知道了 S,F,SuS,F,S_uS,F,Su就可以计算得到 SdS_dSd
为了增加时间间隔阶段我们首先需要确定二叉树的中心接着按照上述所描述的局部波动率曲面搭建股价上行和下行的树杈。这样就可以得到一个满足所有局部波动率的二叉树。然后再利用 qF−SdSu−Sdq\frac{F-S_d}{S_u-S_d} qSu−SdF−Sd 回过头来计算每个节点的风险中性概率。做完这以后我们就可以用逆向归纳法沿着二叉树倒推出任何股票衍生品的价格
首先用上一章中描述的 Cox-Ross-Rubinstein (CRR) 方法来确定二叉树的中心树干。初始节点也就是树根部位的股票价格为 S0S_0S0每一个节点数量为奇数的时间阶段其中心节点 SSS 都等于初始价格 S0S_0S0。其他时间阶段也就是节点数量为偶数的时间阶段分布于中心两侧最近的两个节点都与上一阶段的中心节点 SSS 相连接这两个节点的价格可以表示为 SuSeσ(S,t)dtSdSe−σ(S,t)dtS_uSe^{\sigma(S,t)\sqrt{dt}}\\ S_dSe^{-\sigma(S,t)\sqrt{dt}} SuSeσ(S,t)dtSdSe−σ(S,t)dt 其中 σ(S,t)\sigma(S,t)σ(S,t) 表示股票价格 SSS 在未来时间 ttt 的局部波动率。这种方法明确定义了中心树干。
在每个阶段从中心节点出发可以用之前推导出的下式求得上行节点与下行节点 SuFS2σ2(S,t)dtF−SdSdF−S2σ2(S,t)dtSu−FS_uF\frac{S^2\sigma^2(S,t)dt}{F-S_d}\\S_dF-\frac{S^2\sigma^2(S,t)dt}{S_u-F} SuFF−SdS2σ2(S,t)dtSdF−Su−FS2σ2(S,t)dt 在二叉树中对于中心树干的初始价格 S0S_0S0 没有明确的要求。比如我们可以将股票在每个阶段的远期价格确定为中心价格也可以选择任何其他价格水平。假设在某一阶段有奇数个节点股票的远期价格为 FtF_tFt下一个时间阶段就会有偶数个节点那么 Su,SdS_u,S_dSu,Sd 就可以改写为 SuFteσ(Ft,t)dtSdFte−σ(Ft,t)dtS_uF_te^{\sigma(F_t,t)\sqrt{dt}}\\ S_dF_te^{-\sigma(F_t,t)\sqrt{dt}} SuFteσ(Ft,t)dtSdFte−σ(Ft,t)dt 即确保了在 FtF_tFt 价格下局部波动率等于 σ(Ft,t)\sigma(F_t,t)σ(Ft,t) 案例 假设某股票当前的价格为 S0100S_0100S0100 美元。假设局部波动率跟未来的时间 ttt 没有关系只会随着股票价格的变动而变动二者关系如下 σ(S)max[0.1−S−S0S0,0.01]\sigma(S)\max[0.1-\frac{S-S_0}{S_0},0.01] σ(S)max[0.1−S0S−S0,0.01] 在当前股票价格水平附近股票价格每升高 1%局部波动率就会降低1个百分点。为了保证波动率是正数我们设定波动率最低等于1%。假设股息率和无风险利率都等于 0。令 Δt0.01\Delta t0.01Δt0.01建立前三个时间间隔阶段的二叉树模型 利用标准Cox-Ross-Rubinstein模型可得 S11Seσ(S,t)Δt100e0.10.01101.01S10Se−σ(S,t)Δt100e−0.10.0199.00S_{11}Se^{\sigma(S,t)\sqrt{\Delta t}}100e^{0.1\sqrt{0.01}}101.01\\ S_{10}Se^{-\sigma(S,t)\sqrt{\Delta t}}100e^{-0.1\sqrt{0.01}}99.00 S11Seσ(S,t)Δt100e0.10.01101.01S10Se−σ(S,t)Δt100e−0.10.0199.00 由于股息率和无风险利率等于0节点 S00S_{00}S00 的远期价格等于初始价格100美元股价上行的风险中性概率就等于 q00F−SdSu−Sd100.00−99.00101.01−99.000.4975q_{00}\frac{F-S_d}{S_u-S_d}\frac{100.00-99.00}{101.01-99.00}0.4975 q00Su−SdF−Sd101.01−99.00100.00−99.000.4975 令第三阶段的中心节点 S21S_{21}S21 的价格等于初始价格100美元 在节点 S11S_{11}S11 局部波动率0.09远期价格 FS11101.01FS_{11}101.01FS11101.01对应下行节点是 S21S_{21}S21对应上行节点是 S22S_{22}S22我们有 S22FS112σ2(S11,t)ΔtF−S21101.01101.012×0.092×0.01101.01−100101.83q11F−S21S22−S21101.01−100101.83−1000.5503S_{22}F\frac{S_{11}^2\sigma^2(S_{11},t)\Delta t}{F-S_{21}}101.01\frac{101.01^2\times0.09^2\times0.01}{101.01-100}101.83\\ q_{11}\frac{F-S_{21}}{S_{22}-S_{21}}\frac{101.01-100}{101.83-100}0.5503 S22FF−S21S112σ2(S11,t)Δt101.01101.01−100101.012×0.092×0.01101.83q11S22−S21F−S21101.83−100101.01−1000.5503 类似的在节点 S10S_{10}S10 局部波动率0.11远期价格 FS1099.00FS_{10}99.00FS1099.00对应下行节点是 S20S_{20}S20对应上行节点是 S21S_{21}S21我们有 S20F−S102σ2(S10,t)ΔtS21−F99.00−99.002×0.112×0.01100−99.0097.81q10F−S20S21−S2099.00−97.81100−97.810.5448S_{20}F-\frac{S_{10}^2\sigma^2(S_{10},t)\Delta t}{S_{21}-F}99.00-\frac{99.00^2\times0.11^2\times0.01}{100-99.00}97.81\\ q_{10}\frac{F-S_{20}}{S_{21}-S_{20}}\frac{99.00-97.81}{100-97.81}0.5448 S20F−S21−FS102σ2(S10,t)Δt99.00−100−99.0099.002×0.112×0.0197.81q10S21−S20F−S20100−97.8199.00−97.810.5448 在这个简单的局部波动率树形图中由于波动率会随着股价的下降而上升股价下行的幅度就会高于其上行的幅度因此最终的股价呈现负斜度。 局部波动率与隐含波动率的关系
上述展示了如何建立一个局部波动率树形图。现在需要找到一类局部波动率模型使其可以用来描述观察到的某特定隐含波动率微笑曲线。
假设继续用上个案例中的二叉树模型局部波动率函数保持不变将其扩展到五个时间间隔阶段得到如下五阶段局部波动率模型二叉树模型 假设有一个欧式看涨期权行权价为102美元到期日为5个时间阶段根据树形图的最终节点唯一一个在到期日处于实值状态的期权对应的股票价格是103.34美元此时期权对应的价格是1.34美元。在风险中性条件下假设无风险利率等于0那么该期权的现值就是1.34美元。该期权的风险中性预期价值就等于其现值乘以股价到达该节点的累积概率7.52%即 1.34×0.07520.101.34\times0.07520.101.34×0.07520.10 美元。由于该看涨期权在其他任何一个节点的价值都等于0因此0.10美元就是期权在初始时的价值。
另一个角度考虑股价在到期日高于102美元的风险中性概率又取决于股票在到期日等于实值状态价格之前股价落在100美元和102美元之间的平均局部波动率水平
根据局部波动率函数股价在100美元和102美元之间对应的平均局部波动率等于 (10%8%)/29%(10\%8\%)/29\%(10%8%)/29%。可以猜测在动态局部波动率模型中行权价为102美元的看涨期权价格就等于波动率为9%的常数波动率二叉树模型中的价格
为了验证该猜测是否正确根据CRR方法建立一个波动率为9%的常数波动率二叉树模型 对于行权价为102美元的看涨期权在到期日只有一个节点的损益不等于0在该节点股票价格为103.67美元。损益值等于1.67美元当无风险利率为0时期权的现值就等于 1.67×0.06140.101.67\times0.06140.101.67×0.06140.10 美元保留两位小数点之后结果与局部波动率树形图的结论是一致的。
在常数波动率二叉树模型中取极限条件时间间隔趋近于无穷小时得到的期权价值会收敛至BSM公式的结果
上述案例中在期权估值时用到的CRR隐含波动率约等于当前股价水平和期权行权价水平对应的两个局部波动率的线性平均值。对应地在连续极限条件下我们推测正确的BSM隐含波动率约等于股票价格和行权价的两个局部波动率的平均值
为什么这一关系成立下图展示了不同的股价变动路径。要使最后期权的损益为正数股价路径就必须上穿过初始股票价格 SSS 和行权价 KKK 之间的区域这样最终期权才能处于实值状态。在此之前股价穿过该区域对应的就是局部波动率的样本。因此一个标准期权的隐含波动率就约等于 SSS 与 KKK 之间的局部波动率线性平均值 两倍定律理解局部波动率和隐含波动率之间的关系
期权的隐含波动率 Σ(SK)\Sigma(SK)Σ(SK) 约等于局部波动率 σ(S)\sigma(S)σ(S) 的平均值这是指在期权有效期内股价位于当前标的资产价格和行权价之间时的局部波动率。这种关系类似于零息债券其到期收益率等于远期利率平均值
对于利率而言正是由于存在这种关系短端利率的远期值随时间增长的速率是到期收益率增长速率的两倍。与此类似如果局部波动率函数 σ(S)\sigma(S)σ(S) 只受股价这一个变量的影响那么我们也可以证明局部波动率随股票价格变动的速率约等于隐含波动率随行权价格变动速率的两倍。通常我们将这种关系称为两倍定律。
一个非正式证明假设一个指数的局部波动率与时间无关仅与指数价格保持线性关系于是有 σ(S)σ0βS\sigma(S)\sigma_0\beta S σ(S)σ0βS 假设有一个处于浅度虚值状态的看涨期权行权价为 KKK标的指数的价格水平是 SSS其隐含波动率表示为 Σ(S,K)\Sigma(S,K)Σ(S,K)。影响期权价值的每一条股价变动路径都将穿过 SSS 和 KKK 之间的区域如下图所示。这些路径对应的波动率主要是由 SSS 和 KKK 之间的局部波动率决定的。因此该期权的隐含波动率可以看作等于行权价 KKK 和指数价格水平 SSS 之间的平均局部波动率也就是图中的阴影部分 于是 Σ(S,K)≈1K−S∫SKσ(S′)dS′Σ(S,K)≈1K−S∫SK(σ0βS′)dS′1K−S(σ0S′12βS′2)∣SK1K−S[σ0(K−S)12β(K2−S2)]σ0β2(KS)\Sigma(S,K)\approx\frac{1}{K-S}\int_S^K\sigma(S)dS\\ \Sigma(S,K)\approx\frac{1}{K-S}\int_S^K(\sigma_0\beta S)dS\\\frac{1}{K-S}(\sigma_0S\frac{1}{2}\beta S^2)|_S^K\\\frac{1}{K-S}[\sigma_0(K-S)\frac{1}{2}\beta(K^2-S^2)]\\\sigma_0\frac{\beta}{2}(KS) Σ(S,K)≈K−S1∫SKσ(S′)dS′Σ(S,K)≈K−S1∫SK(σ0βS′)dS′K−S1(σ0S′21βS′2)∣SKK−S1[σ0(K−S)21β(K2−S2)]σ02β(KS) 比较 σ(S)σ0βS\sigma(S)\sigma_0\beta Sσ(S)σ0βS 与 Σ(S,K)≈σ0β2(KS)\Sigma(S,K)\approx\sigma_0\dfrac{\beta}{2}(KS)Σ(S,K)≈σ02β(KS)可以看出局部波动率随 SSS 变动的速率是隐含波动率随 SSS 变动速率的两倍同时隐含波动率随 SSS 变动的速率等于其随 KKK 变动的速率
将两式结合可更直观地得到隐含波动率和局部波动率之间的关系 Σ(S,K)≈σ(S)β2(K−S)\Sigma(S,K)\approx\sigma(S)\dfrac{\beta}{2}(K-S) Σ(S,K)≈σ(S)2β(K−S)
