网站设置文件,西安网站推广优化,梅州在建高铁最新消息,全网营销概念【铺垫】二次型做的变换与相应二次型矩阵的对应#xff1a;二次型f#xff08;x1#xff0c;x2#xff0c;x3#xff09;xTAx#xff0c;g#xff08;y1#xff0c;y2#xff0c;y3#xff09;yTBy ①若f在可逆变换xPy下化为g#xff0c;即P为可逆阵#xff0c;有P…【铺垫】二次型做的变换与相应二次型矩阵的对应二次型fx1x2x3xTAxgy1y2y3yTBy ①若f在可逆变换xPy下化为g即P为可逆阵有PTAPB此时P来源于二次型f g代数配方的系数阵。A B合同 ②若f在正交变换xQy下化为g即Q为正交阵有QTAPQ^(-1)AQB此时Q来源于矩阵方法求AB的特征值特征向量产生的过渡正交阵Q使得QTAQB。A B合同且相似 ·故若让求合同矩阵A B的可逆过渡阵P使PTAPBP的构成来源可以是A B对应二次型代数配方的可逆系数阵此时二次型做可逆变换或者A B化为对角阵的正交阵此时二次型做正交变换 【思考】若实对称阵A B合同但不相似且有可逆阵Q使得QTAQB那么Q可能为正交阵吗 【回答】Q不可能为正交阵。因为若Q为正交阵则Q-1QT则有Q-1AQB此时A B相似与条件矛盾
【问题引入】若实对称阵A B合同考虑A B均非对角阵的一般情况则有可逆阵P使得PTAPB求P的策略不考虑成对初等变换 【分析】合同矩阵A B有相同的规范型总存在对角阵∧和可逆阵C D使得CTAC∧DTBD 若A B合同但不相似C D中最多有1个正交阵〔不可能 C D 均为正交阵〕【但若A B不仅合同且相似则C D可能均为正交阵一般可逆阵也可。例如C D均为正交阵24李6卷5线代大题二次型f(xi)在正交变换xQy变换下化为二次型g(yi)让求Q记f g对应二次型矩阵为A B则有正交阵Q使得QTAQBA B相似。将A B分别用一个正交阵Q1 Q2对角化(此不用配方)根据Q1 Q2即可得Q。下面说A B合同但不相似的情况】 【核心思想】①写A B对应的二次型f(xi)g(yi) ②选用代数配方法或正交矩阵法将A B在可逆阵C D的作用下化为同一个对角阵∧即CTAC∧DTBD(C D中可能存在最多一个正交阵)。后可根据C D求出PTAPB的可逆阵P ·其实基本默认可优先考虑配方法若给过铺垫可考虑一下正交阵。注意若A B合同但不相似最终PTAPB的P不可能为正交阵见上提问正交阵只可能与另一个可逆阵相乘构成P
【情况一】C D中无正交阵〔20数二大题24李6数二第6套大题〕 【实操】①A用相应二次型fxi配方即可逆变换xCz到对角阵∧〔C为配方系数阵的逆〕 ②B用相应二次型gyi配方即可逆变换yDz到同一个∧〔D为配方系数阵的逆〕 【注】1化为的同一个∧通常为f g共同的规范型 220数二线代大题要自己将f g同时配方为同一规范型24李4数二线代第一问已让求出了f到规范型的可逆变换xCy〔即已找到C使CTAC∧E〕。而A B都是正定阵规范型均为E第2问再求出g到规范型的可逆变换yDz〔即再求出D使DTBD∧E〕结合C D即可求出PTAPB的P
【情况二】若C D中有正交阵设C为正交阵D为可逆阵〔24李4数二第4套大题考法〕 【实操】①将A用正交阵C化到标准型∧即CTAC∧〔相应二次型fxi做正交变换xCz〕 ②B用相应二次型gyi配方即可逆变换yDz到同一个∧〔D为配方系数阵的逆〕 【注】1f g化为的同一个∧通常为正交阵C的标准型 224李4数二第4套线代大题套路就是第一问让用正交变化xQy求出了f的标准型〔即求出了正交阵Q使QTAQ∧1diaga1a1a-2∧1则为A的标准型〕第二问记BA-aE²注意到一问的Q也可使QTBQ∧2diag114此时再将B做可逆变换yDz配方到∧3E〔即易写出可逆阵D使DT∧2D∧3E因为∧2原本就是对角阵了〕。故有DTQTBQD(∧3)E而让求PTBPE可取PQD。本题虽形式上设问略有不同但手法思想类似 3【注意】C D中有无正交阵其实可以“自定义”如当下面情况可出现正交阵 ①第一问让求过正交阵C使CTAC∧〔24李4数二第4套考法〕则此时只需对B相应二次型gyi配方即可 ②配方难配或矩阵AorB的特征值易求
