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定义:
设(G,)是一个群#xff0c;H属于G,如果(H,)仍是一个群#xff0c;则(H,)叫做(G,)的子群。如果G的一个子群H不等于G#xff0c;即H是G的真子集#xff0c;则(H,)叫做(G,)的真子群
平凡子群和非平凡子群:
任意群都有两个子集一定是群 (平凡子群):{e} {G},其他…子群:
定义:
设(G,·)是一个群H属于G,如果(H,·)仍是一个群则(H,·)叫做(G,·)的子群。如果G的一个子群H不等于G即H是G的真子集则(H,·)叫做(G,·)的真子群
平凡子群和非平凡子群:
任意群都有两个子集一定是群 (平凡子群):{e} {G},其他的是非平凡子群 性质:
(1)G的子群H具有与G相同的运算。
(2)一般地在群G中成立的运算律在子群H中仍然成立。
(反过来未必:比如子群{1},有幂等律,但是原群未必就也有幂等律)
(3)群G一般都有两个明显的子群称为G的平凡子群
①由其单位元素组成的子群{1}称为G的单位子群
②G本身。
其余的子群(如果有的话)称为非平凡子群 思考:H是群(G,*)的一个子集且*运算在H上具有封闭性那么:
(1)*运算在H上满足结合律? 对
(2)*运算在H中有单位元?未必,得有限才可以
(3)如果*运算在H中有单位元H中每个元素都有*运算逆元?未必,理由同上
比如:取整数加法群(Z,)的子集(N,)这里N表示自然数集合,里面有单位元0,但是不是群
练习题:
例子:
(mZ,)是整数加法群(Z,)的一个子群。
(R,)、(Q,)(Z,)都是(C,)的真子群。
(R*,*)(Q*,*)都是(C*,*)的真子群。
行列式等于1的所有n阶矩阵是所有n阶非奇异矩阵的乘法群的真子群。
当n1时n次交代群是n次对称群的真子群
(C*m*)不是(C,)的子群。 设Z6{0,1,2,3,4,5}则Z在整数模6加法下是一个群它有[4]个子群其中有[2]个真子群有2个平凡子群。
{0}和{0,1,2,3,4,5} {0,3}和{0,2,4} 设(G,*)是群对G中任意a令H{x|x*aa*x,x属于G}试证明(H,*)是(G,*)的子群。
1,有单位元e 非空
2,任意x,y属于H,有x*aa*x ,y*aa*y x*y*ax*a*ya*x*y 所以封闭
3,结合律也满足,
4,有逆:任意x 满足x*aa*x,同时右乘 x^-1 x*a*x^-1 a,
再同时左乘x^-1--- a*x^-1x^-1*a
5单位元,由1,得证 (4,可除: 任意a,b属于H,存在x,y . axb,yab -xa^-1 b yb*a^-1,因为逆元存在,得证)
H称为a在G中的中心化子 子群的判定:
1,非空封闭结合律含有单位元任意元有逆元
(其中,单位元就是G中单位元,逆元也是G中对应的逆元)
2,非空,封闭,有对应逆元
(任取a属于H,有a^2.a^3...由于鸽巢原理,一定存在a^ia^j-pj-i .a^p*a^ia^i,单位元就是a^p,逆元就是a^(p-i))
3,非空 任意a,b属于H,有a*b^-1属于H(a^-1 * b属于H 也可以)
(充分性:a*b^-1属于H,说明,b有逆元,如果ab,就会存在单位元)
4,元素有限封闭(鸽巢原理可证明)
练习题:
例:给定整数m证明(mz,)是一个群。
非空and 封闭(任意a,b属于mZ,aml,bmn abm(ln))
逆元为 -a
也可以是非空 (任意aml,bmn a-bm(l-n)也属于mz) 例:证明任意两个子群的交集仍是子群
1,非空,肯定有单位元
2,任取a,b属于两个子群的交集 ,因为满足群的性质,一定存在 a*b^-1属于两个子群,也就是说一定存在他们的交集中 得证
经典例题:
例11.设H和K都是群G的子群令HK{xy|x属于H,y属于K}KH{yx|y属于K,x属于H}。试证若HKKH则HK是G的子群
1,显然有单位元
2,假设xh*K;yh1*k1显然x,y都属于HK,y^-1k1^-1 * h1^-1 ,x*y^-1h*((k*k1^-1)*h1^-1)
显然k2k*k1^-1属于 k, 又因为HKKH 也就是说存在k2*h1^-1h3*k3
也就是x*y^-1h*k2*h1^-1(h*h3)*k3h4k3属于HK,得证
例:设G是n次对称群判断其非空子集是否是群只需验证运算是否封闭。试判断下面哪些子集在置换的乘法下是群?(AC)
所有偶置换的集合 所有奇置换的集合 {I, (1 2)} {I,(12),(13)} 例:设G是一个群H是G的一个子群。a属于G。试证:aHa^-1{aha^-1|h属于H}是G的子群。(aHa^-1也称为H一个的共轭子群)
1,非空,因为a*e*a^-1e
2,封闭Xa*x*a^-1,Ya*y*a^-1 ,X*Ya*(x*y)*a^-1 显然封闭
3.逆元:任意X,Y属于aHa^-1 ,也就是Xa*x*a^-1,Ya*y*a^-1 ,Y^-1a*y^-1*a显然逆元也属于子群
(2,判别法3:X*Y^-1a*x*y^-1*a^-1,也属于子群) (补充知识,只有正规子群的共轭子群是自己本身) 元素的周期:
定义:
最小的p让a^pe,周期是p,如果不存在这样的数,那么周期就是0/∞
练习题:
例:模6整数加法群(Z6,)中0的周期是[1]1的周期是[6]2的周期是[3]3的周期是[2]4的周期是[3]5的周期是「6]。 例:模7整数加法群(Z-,)中0的周期是[1]1的周期是[7]2的周期是[7]3的周期是[7]4的周期是[7]5的周期是[7]6的周期是[7]。 思考:他们和元素数的关系是?
周期数都只能是元素数的约数
并且,如果元素是元素数的质因数,那么周期就是n/x(反过来说,一群阶为n的群,一定存在其质因数周期的元素)
Eg:元素有4个的群只有两种(元素周期为1,2,2,4的,是一个循环群,元素周期为1,2,2,2的,克莱因四元群)
(补充,循环群是交换群,循环群是由生成元a生成的一个群) 比如模6加法群,2: 3 但是 4的周期:3 (4不是6的质因数) 4次对称群中(1234)的周期是4
因为(1 2 3 4)^2(1 3)(2 4)
(12 3 4)^3(1 4 3 2)
(1 2 3 4)^4I 两个结论:
1,单位元周期数为1
2,任意一个元素的周期和他的逆元周期一致
练习题:
例15.设(G,·)是群x、y属于G且y·x·y-1x^2,其中x≠1,y的周期是2试求x的周期
(x^2)^2y*x^2*y^-1y*(y*x*y^-1)*y^-1x所以周期是3 若群G中元素a的周期为k则
1)1, a1. a2. a....ak-1.为k个不同元素
2)a^m1当且仅当 k|m;
3)a^sa^t当且仅当k|(s-t)。
思考题: 2^224^11
因为(1234)^4I 所以答案是I 例题: 生成子群:
设a是群G的一个元素。于是a的所有幂的集合a^nn0,士1,士2....做成G的一个子群记为(a)。此群称为由a生成的子群。 练习题
例:在模6加法群(Z6,):
(0){0}; (1){0,1,2,3,4,5}; (2){0,2,4};
(3){0,3}; (4){0,2,4}; (5){0,1,2,3,4,5}; 例:设G是4次对称群由(12)生成的子群为{I(12)}。 4次对称群中((1 2 3 4))?
(1 2 3 4)^0I (1 2 3 4)^1(1 2 3 4) (1 2 3 4)^2(1 3)(2 4)
(1 2 3 4)^3(1 4 3 2) (1 23 4)^4I 设Z6{0,1,2,3,4,5}请问在模6加法群(Z6,e)的所有子群中:
(1)包含元素0的最小子群是? {0}
(2)包含元素1的最小子群是? {Z6}
(3)包含元素2的最小子群是? (0,2,4)
(4)包含元素3的最小子群是? (0,3)
(5)包含元素4的最小子群是? (0,2,4)
(6)包含元素5的最小子群是?{G} 循环群(巡回群):
群G为一个循环群或巡回群如果G可以由它的某元素a生成即有a属于G使得G(a)a称为群G的生成元,所以a确定的子群(a)可称为由a生成的循环子群
循环群一定是交换群,且(a)的大小就是G中a的周期 练习题:
例:以下哪些是循环群?ABCDE
A,整数加法群(Z,) B,{1,-1},* C,{1,-1,i,-i},*
D,模6整数加法群Z6 E,模7整数加法群Z7 F,Klein四元群 G四次对称群S4 模m整数加法群(Z,)共有多少个生成元?
有欧拉函数f(x),从1开始的与x互质的数的多少
计算公式是f(x)x*(1-1/p1)(1-1/p2)...(1-1/pn) 两个结论
(1)无限循环群(a)一共有两个生成元a及a^-1
(2)n元循环群(a)中元素a是(a)的生成元的充要条件是(n,k)1。所以(a)一共有f(n)个生成元素。 引入:给定集合Z6{0,1,2,3,4,5}田为模6加法Z,的一个子群H{0,3}
对于:0,3 * H 仍然是H
对于1,4 H 是(1,4)不是子群
对于2,5 H 是(2,5)不是子群
但是这几个将集合划分为了3块 合同:
定义:
设G是群H是G的子群a、b属于G若有h∈H使得abh则称a合同于b(右模H)记为ab(右mod H)。
合同表示属于一个类的,是一种等价关系的表示...H是划分的依据
等价关系可以确定等价类等价类可以构成商集商集是一种对原集合的划分 陪集:
群G在合同关系(右模H)下的一个等价类叫做H的一个右陪集。
不同的子群会产生出不同的右模合同关系,也就会得到不同的右陪集 练习题
给定群G及其子群H怎样求G中元素a所在右陪集? a*H 例:设G是三次对称群H是由(123)生成的子群:H{I, (1 2 3), (1 3 2)}。
求(1 2 3)所在右陪集。 一些结论:
(1)若H为G的有限子群则|aH||H|。
(2)子群H本身也是H的一个右陪集。
(3)a在右陪集aH中(a属于aH)。
根据这点把a叫做右陪集aH的一个陪集代表。
(4)aHH的充分必要条件是a属于H。
(5)对任意b属于aH都有aHbH。这点说明右陪集aH中任一元素都可以取做陪集代表
(6)aHbH的充分必要条件是(a^-1*b属于H,b^-1*a属于H)
(7)任意两个右陪集aH和bH或者相等或者不相交。
(8)如果G是交换群,那么左右陪集没有区别 求所有陪集的一个方法:穷举任何一个不属于H的元素得到的交集然后去并集
