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在机器学习领域#xff0c;聚类是一种无监督学习的技术#xff0c;用于将数据集分组成若干个类别#xff0c;使得同组数据之间具有更高的相似性。这种技术在各个领域都有广泛的应用#xff0c;比如客户细分、图像压缩和市场分析等。聚类的目标是使得同类样本之间的…1. 引言
在机器学习领域聚类是一种无监督学习的技术用于将数据集分组成若干个类别使得同组数据之间具有更高的相似性。这种技术在各个领域都有广泛的应用比如客户细分、图像压缩和市场分析等。聚类的目标是使得同类样本之间的相似性最大化而不同类样本之间的相似性最小化。
K 均值聚类 (K-Means Clustering) 是一种基于距离度量的迭代优化算法通过选择若干个质心 (centroid) 来对数据进行分组使得每个数据点所属的聚类内距离质心的距离之和最小化。由于其算法的简单性和高效性K 均值在数据分析中被广泛使用。
在现实生活中我们可以将 K 均值聚类应用于客户细分以帮助企业识别具有相似购买行为的客户群体或者用于图像压缩通过将图像像素点聚类来减少颜色的数量。在这篇文章中我们将深入探讨 K 均值聚类的数学原理、算法实现步骤并提供 Python 代码示例来帮助读者理解其实际应用。
2. 什么是 K 均值聚类
K 均值聚类是一种基于质心的聚类算法它通过反复迭代的方式将数据点分配到 K 个聚类中。每个质心代表一个聚类的中心位置算法会不断调整质心的位置直到满足一定的收敛条件。K 均值聚类的目标是最小化每个聚类内部所有点到其质心的距离之和。
具体来说K 均值聚类的步骤可以概括如下 随机选择 K 个初始质心。 将每个数据点分配到离它最近的质心所在的聚类。 重新计算每个聚类的质心即对聚类中的所有数据点取平均值。 重复步骤 2 和 3直到质心的位置不再发生变化或者达到预设的迭代次数。
K 均值聚类的最终结果是 K 个聚类每个聚类由一个质心及其所有属于该聚类的数据点组成。其目标是使得每个聚类内的数据点与质心之间的总距离最小。
3. K 均值聚类的数学原理
K 均值聚类的目标是最小化每个数据点到所属质心的距离的平方和 (Sum of Squared Errors, SSE) 其中 聚类的数量。 第 i 个聚类。 第 i 个聚类的质心。 属于聚类 的数据点。
这个优化问题的目标是通过不断调整每个聚类的质心来最小化 SSE。该过程通过交替进行两步分配 (Assignment) 和更新 (Update)直到达到收敛条件。
4. 算法实现步骤详解
K 均值聚类算法主要包含以下步骤
步骤 1选择 K 值
K 值是指要将数据分成的聚类数。选择合适的 K 值是 K 均值聚类算法中一个非常重要的步骤因为不合适的 K 值会影响聚类的效果。通常可以通过 肘部法则 (Elbow Method) 来确定合适的 K 值。
步骤 2初始化质心
可以随机选择 K 个数据点作为初始质心或者使用一些启发式的方法如 K-Means以更好地初始化质心减少随机性对聚类效果的影响。
步骤 3分配数据点
将每个数据点分配到离它最近的质心所在的聚类中。通常使用欧几里得距离来计算数据点与质心之间的距离。
步骤 4更新质心
对于每一个聚类重新计算其质心的位置。具体来说将聚类中的所有数据点的坐标进行平均得到新的质心位置。
步骤 5收敛判断
判断质心是否发生变化。如果质心位置不再变化或者达到预设的最大迭代次数算法停止。此时的聚类结果即为最终的聚类划分。
5. Python 代码实现
下面我们用 Python 及其常用库 NumPy 和 Matplotlib 实现 K 均值聚类算法
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import make_blobs
# 生成模拟数据集
np.random.seed(42)
X, y make_blobs(n_samples300, centers4, cluster_std0.6, random_state0)
# 可视化数据集
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], s50)
plt.xlabel(Feature 1)
plt.ylabel(Feature 2)
plt.title(Generated Data)
plt.show()
# 定义K均值聚类算法
class KMeans:def __init__(self, k3, max_iters100, tol1e-4):self.k kself.max_iters max_itersself.tol tol
def fit(self, X):self.centroids X[np.random.choice(range(X.shape[0]), self.k, replaceFalse)]for _ in range(self.max_iters):# 分配数据点到最近的质心self.clusters self._assign_clusters(X)# 重新计算质心new_centroids self._compute_centroids(X)# 检查质心是否收敛if np.all(np.linalg.norm(self.centroids - new_centroids, axis1) self.tol):breakself.centroids new_centroids
def _assign_clusters(self, X):distances np.linalg.norm(X[:, np.newaxis] - self.centroids, axis2)return np.argmin(distances, axis1)
def _compute_centroids(self, X):return np.array([X[self.clusters i].mean(axis0) for i in range(self.k)])
def predict(self, X):distances np.linalg.norm(X[:, np.newaxis] - self.centroids, axis2)return np.argmin(distances, axis1)
# 训练模型
kmeans KMeans(k4)
kmeans.fit(X)
# 预测聚类结果
y_pred kmeans.predict(X)
# 可视化聚类结果
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], cy_pred, cmapviridis, s50)
plt.scatter(kmeans.centroids[:, 0], kmeans.centroids[:, 1], s200, cred, markerX)
plt.xlabel(Feature 1)
plt.ylabel(Feature 2)
plt.title(K-Means Clustering Results)
plt.show()
6. 选择 K 值肘部法则
选择合适的 K 值是 K 均值聚类的重要步骤。肘部法则是一种常用的方法它通过计算不同 K 值下 SSE 的变化趋势来选择合适的 K。随着 K 的增加SSE 会减少但当减少的速度显著减小时最佳 K 值即为 肘部点。
以下是使用肘部法则的代码示例
sse []
for k in range(1, 10):kmeans KMeans(kk)kmeans.fit(X)sse.append(sum(np.min(np.linalg.norm(X[:, np.newaxis] - kmeans.centroids, axis2), axis1) ** 2))
# 可视化肘部法则
plt.plot(range(1, 10), sse, markero)
plt.xlabel(Number of Clusters (K))
plt.ylabel(SSE)
plt.title(Elbow Method for Optimal K)
plt.show()
7. K 均值聚类的优缺点
优点 简单易懂K 均值聚类算法简单直观易于实现。 高效性对于较大规模的数据K 均值算法计算效率较高。
缺点 对初始值敏感算法对初始质心位置敏感可能陷入局部最优。K-Means 是一种改进方法可以更好地选择初始质心。 需指定 K 值K 值需要事先给定这对于不熟悉数据结构的用户来说是个挑战。 易受异常值影响异常值对质心计算有较大影响可能使结果偏离。
8. K-Means 的改进
为了减少对初始质心选择的敏感性K-Means 提供了一种改进策略确保初始质心尽可能分散减少局部最优解的可能性。Scikit-Learn 库实现的 KMeans 就采用了 K-Means 作为默认的初始质心选择方法。
from sklearn.cluster import KMeans
# 使用KMeans初始化
kmeans KMeans(n_clusters4, initk-means, max_iter300, n_init10, random_state0)
y_kmeans kmeans.fit_predict(X)
# 可视化聚类结果
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], cy_kmeans, cmapviridis, s50)
plt.scatter(kmeans.cluster_centers_[:, 0], kmeans.cluster_centers_[:, 1], s200, cred, markerX)
plt.xlabel(Feature 1)
plt.ylabel(Feature 2)
plt.title(K-Means Clustering Results)
plt.show()
9. 实际应用
K 均值聚类在实际生活中有着广泛的应用包括 客户细分根据购买行为或浏览习惯将客户进行分类方便精准营销。 图像压缩通过对图像的像素进行聚类将相似颜色的像素归为同一类从而减少颜色种类达到压缩图像的目的。 市场分析K 均值可以用于找出不同市场中的相似产品。
10. 总结
K 均值聚类是一种强大且简单的聚类算法适合处理结构化的数值数据。它在很多应用场景下表现良好但也有其局限性比如对初始值敏感和易受异常值影响。在实际应用中结合肘部法则和 K-Means 等改进方法可以提高聚类效果。
希望本文让你对 K 均值聚类的原理和实现有更深的理解并能利用代码在自己的项目中进行聚类分析。如果你有任何问题或建议欢迎在评论区交流
