南昌网站建设 南昌做网站公司,建筑网图集,出格做网站,网站制作建立算法训练营 day48 动态规划 完全背包 零钱兑换 II 组合总和 Ⅳ
完全背包
有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]#xff0c;得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个#xff08;也就是可以放入背包多次#xff09;#xff0c;求解将哪些物…算法训练营 day48 动态规划 完全背包 零钱兑换 II 组合总和 Ⅳ
完全背包
有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个也就是可以放入背包多次求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是每种物品有无限件。
在下面的讲解中我依然举这个例子
背包最大重量为4。
物品为
重量价值物品0115物品1320物品2430
每件商品都有无限个
01背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上所以本文就不去做动规五部曲了我们直接针对遍历顺序经行分析
我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历为了保证每个物品仅被添加一次。
而完全背包的物品是可以添加多次的所以要从小到大去遍历即
// 先遍历物品再遍历背包
for(int i 0; i weight.size(); i) { // 遍历物品for(int j weight[i]; j bagWeight ; j) { // 遍历背包容量dp[j] max(dp[j], dp[j - weight[i]] value[i]);}
}dp状态图如下 在完全背包中对于一维dp数组来说其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的
因为dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。
一维dp数组
//先遍历物品再遍历背包
private static void testCompletePack(){int[] weight {1, 3, 4};int[] value {15, 20, 30};int bagWeight 4;int[] dp new int[bagWeight 1];for (int i 0; i weight.length; i){ // 遍历物品for (int j weight[i]; j bagWeight; j){ // 遍历背包容量dp[j] Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] value[i]);}}for (int maxValue : dp){System.out.println(maxValue );}
}//先遍历背包再遍历物品
private static void testCompletePackAnotherWay(){int[] weight {1, 3, 4};int[] value {15, 20, 30};int bagWeight 4;int[] dp new int[bagWeight 1];for (int i 1; i bagWeight; i){ // 遍历背包容量for (int j 0; j weight.length; j){ // 遍历物品if (i - weight[j] 0){dp[i] Math.max(dp[i], dp[i - weight[j]] value[j]);}}}for (int maxValue : dp){System.out.println(maxValue );}
}二维dp数组 private static void testCompletePack(){int[] weight {1, 3, 4};int[] value {15, 20, 30};int bagWeight 4;int[][] dp new int[weight.length][bagWeight 1];for (int j weight[0]; j bagWeight ; j) {dp[0][j] dp[0][j-weight[0]]value[0];}for (int i 1; i weight.length ; i) {for (int j 1; j bagWeight ; j) {if (jweight[i]){dp[i][j] dp[i-1][j];}else {dp[i][j] Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]value[i]);}}}for (int[] maxValue : dp){for (int a: maxValue) {System.out.print(a );}System.out.println();}}零钱兑换 II
518. 零钱兑换 II - 力扣LeetCode
给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币另给一个整数 amount 表示总金额。
请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额返回 0 。
假设每一种面额的硬币有无限个。
题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。
本题和纯完全背包不一样纯完全背包是凑成背包最大价值是多少而本题是要求凑成总金额的物品组合个数
组合不强调元素之间的顺序排列强调元素之间的顺序。 确定dp数组以及下标的含义 dp[j]凑成总金额j的货币组合数为dp[j] 确定递推公式 dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]]考虑coins[i]的情况相加。 所以递推公式dp[j] dp[j - coins[i]]; dp数组如何初始化 dp[0]一定要为1dp[0] 1是 递归公式的基础。如果dp[0] 0 的话后面所有推导出来的值都是0了。 确定遍历顺序 因为纯完全背包求得装满背包的最大价值是多少和凑成总和的元素有没有顺序没关系即有顺序也行没有顺序也行 而本题要求凑成总和的组合数元素之间明确要求没有顺序。 所以纯完全背包是能凑成总和就行不用管怎么凑的。 本题是求凑出来的方案个数且每个方案个数是为组合数。 那么本题两个for循环的先后顺序可就有说法了。 我们先来看 外层for循环遍历物品钱币内层for遍历背包金钱总额的情况。 代码如下 for (int i 0; i coins.size(); i) { // 遍历物品for (int j coins[i]; j amount; j) { // 遍历背包容量dp[j] dp[j - coins[i]];}
}假设coins[0] 1coins[1] 5。 那么就是先把1加入计算然后再把5加入计算得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。 所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数 如果把两个for交换顺序代码如下 for (int j 0; j amount; j) { // 遍历背包容量for (int i 0; i coins.size(); i) { // 遍历物品if (j - coins[i] 0) dp[j] dp[j - coins[i]];}
}背包容量的每一个值都是经过 1 和 5 的计算包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。 此时dp[j]里算出来的就是排列数 举例推导dp数组
输入: amount 5, coins [1, 2, 5] dp状态图如下 class Solution {public int change(int amount, int[] coins) {int[] dp new int[amount1];dp[0]1;for (int i 0; i coins.length; i) {for (int j coins[i]; j amount ; j) {dp[j] dp[j-coins[i]];}}return dp[amount];}
}组合总和 Ⅳ
377. 组合总和 Ⅳ - 力扣LeetCode
给你一个由 不同 整数组成的数组 nums 和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。
题目数据保证答案符合 32 位整数范围。
本题题目描述说是求组合但又说是可以元素相同顺序不同的组合算两个组合其实就是求排列
弄清什么是组合什么是排列很重要。
组合不强调顺序(1,5)和(5,1)是同一个组合。
排列强调顺序(1,5)和(5,1)是两个不同的排列。
确定dp数组以及下标的含义
dp[i]: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]
确定递推公式
dp[i]考虑nums[j]可以由 dp[i - nums[j]]不考虑nums[j] 推导出来。
因为只要得到nums[j]排列个数dp[i - nums[j]]就是dp[i]的一部分。
dp数组如何初始化
因为递推公式dp[i] dp[i - nums[j]]的缘故dp[0]要初始化为1这样递归其他dp[i]的时候才会有数值基础。
确定遍历顺序
个数可以不限使用说明这是一个完全背包。
得到的集合是排列说明需要考虑元素之间的顺序。
本题要求的是排列那么这个for循环嵌套的顺序可以有说法了。
如果求组合数就是外层for循环遍历物品内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包内层for循环遍历物品。
如果把遍历nums物品放在外循环遍历target的作为内循环的话举一个例子计算dp[4]的时候结果集只有 {1,3} 这样的集合不会有{3,1}这样的集合因为nums遍历放在外层3只能出现在1后面
所以本题遍历顺序最终遍历顺序target背包放在外循环将nums物品放在内循环内循环从前到后遍历。
举例来推导dp数组
我们再来用示例中的例子推导一下 class Solution {public int combinationSum4(int[] nums, int target) {int[] dp new int[target1];dp[0]1;for (int j 0; j target ;j){for (int i 0; i nums.length; i) {if(jnums[i]){dp[j] dp[j-nums[i]];}}}return dp[target]; }
}
