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来了来了切向量切空间。流形上的所有的线性泛函的集合注意是函数的集合。然后取流形上的某点p它的切向量为线性泛函到实数的映射。没错是函数到实数的映射是不是想到了求导。我们要逐渐熟悉把函数作为一个自变量而且的它的因变量可以是一个实数。而且这个切向量是线性的还有个导子我也不太明白但有点类似于对偶空间里的那种概念。
总之满足条件的就是方向偏导数这个算子。导子就是求导乘积公式吧。
这里还有一点因为是函数的集合其实我们在想象其几何意义的时候是比较困难的。首先流形你可以想象成一个光滑的曲面但是流形上的泛函你是很难继续想象几何意义的。 这里的意思是说切空间是一个超平面那么它是什么曲面上的超平面呢这个曲面代表什么呢我们想一下正常来表示一个曲面可能需要类似
xx(u,v)
yy(u,v)
zz(u,v)
这样一个参数方程。从流形的角度考虑u,v其实就是R^2的空间而x,y,z就是拓扑流形。它上面的光滑标量场可以认为是(x,y,z)到R^2的同胚然后在泛函到R上。也就是说三维空间下的一个二维曲面是一个微分流形我们取它的一个局部它应该同胚于R^2然后我们应该有一个到R的映射这就是它的泛函。为什么要进入这样一个标量场呢 所以我们不妨假设现在这个坐标它有一个物理标量和它对应即可。这样我们得到了一个叫做“场”的东西所以如果说流形是一个可以想象的光滑曲面那我们现在对上面的每一个坐标取一个标量函数那么就会得到一个“场”。要注意这个场表示的是这个映射的本身而不是映射后的值。这个场我们可以具象化为磁场电场等。然后考虑切空间它是作用在这个映射上或者说作用在这个“场”上的偏导方向算子特殊一点就是梯度变化最快的一个方向。每一个方向导数的结果就是一个“斜率”理论上我们可以写出这个斜率下经过p点的“直线方程”我们把所有的方向全部组合在一起所有的直线就变成了平面也就是这个场的超平面。回到数学分析的课本上它首先就定义了一个标准坐标t,然后参数方程xx(t),后面要对这个方程求导所以这个方程就是我们的“场”。这个场有完整的坐标结构t是“x轴”x是“y轴”。可以想象成一个曲面后面求导得到的切平面和我们前面说的就是一一对应的了。
不过既然xx(t)是场那么它的标量函数应该就是x1x1(t), x2x2(t).... 所以t就是标准的流形吧。
不过因为x和t同胚可以把x理解成流形t理解成R^n空间也是可以的。
其实我们经常说的曲面或者函数图像它的本质就是映射本身。而不是单纯的探讨定义域和值域。一般来说定义域和值域应该更多的都是单纯的多面体才对。 这个定义要好好理解首先它定义了经过p点的参数曲线的合集。首先把一个极小的区间映射到R^n空间然后这个是和流形M是同胚的。在R^n中我们想找到一个小区间到R^n映射的切向量那么就是单纯的在R^n空间下求导数即可。这个思路应该是这样例如3维空间下的二维曲面我们想要抛弃三维的嵌入概念直接把它的二维同胚给拿来分析然后用一维的曲线先去做一个参数映射得到二维空间下的曲线。求个导就是对应的切向量了把这些所有的曲线集合起来那么就得到了切空间。这里其实用到了一个小知识点我们要求导其实就是固定一个轴然后对另一个轴求变化率。就像曲面是uv坐标轴构成的那么我们可以固定u轴对v求导即可。其实就偏导的概念了。 这里的符号比较微妙TM下面少了个p所以就是任何M上的点的所有切向量的有序对的集合。切向量是有很多的因为方向导数有无数个方向。 要牢记切丛是所有切向量有序对的集合而向量场是切丛的一个截影是一个映射。其实有序对就是一个映射。 说的有道理非数学系我也觉得这样就够了。注意“场”是一个映射把流形映射到一个标量上形成的一个“场”这个场是映射本身的性质。 这个定义对我可能有点奇怪流形上的第一个标量场继续求方向导数得到第二个标量场。不过也对本来求导后得到的是一个切空间但现在考虑的是完整的流形M那么所有的切空间的合集应该还是一个标量场。不过这里应该是直接拿到切空间某一个方向的导数即可。而不是全部的切空间。 来到对偶空间。和前面类似我们分析一个空间也要分析这个空间上建立的泛函映射这个映射就是对偶空间。 对偶基的概念其实就是在原来基的基础上映射到0还是1的问题。感觉是可以化成标准基的意思。 这里应该作者写错了参考线性代数应该这样学90页 就是说v和v**是自然同构他们的同构定义是需要满足一定的关系的。 为什么这么复杂还要继续定义切空间上面的对偶空间哦。 定义太多了然我们回到微分的主题上看有没有办法用最好的办法记忆。
