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代码随想录算法训练营第四十四天 | 完全背包 、零钱兑换 II 、组合总和 Ⅳ

完全背包

题目链接：题目页面 (kamacoder.com)

解释一、01背包 一维 ：为什么要倒序遍历背包？

首先要明白二维数组的递推过程，然后才能看懂二维变一维的过程。

假设目前有背包容量为10，可以装的最大价值， 记为g(10)。

即将进来的物品重量为6。价值为9。
那么此时可以选择装该物品或者不装该物品。

如果不装该物品，显然背包容量无变化，这里对应二维数组，其实就是取该格子上方的格子复制下来，就是所说的滚动下来，直接g【10】 = g【10】，这两个g【10】要搞清楚，右边的g【10】是上一轮记录的，也就是对应二维数组里上一层的值，而左边是新的g【10】，也就是对应二维数组里下一层的值。

如果装该物品，则背包容量= g(10-6) = g(4) + 9 ，也就是 g(10) = g(4) + 6 ,这里的6显然就是新进来的物品的价值，g(10)就是新记录的，对应二维数组里下一层的值，而这里的g(4)是对应二维数组里上一层的值，通俗的来讲：你要找到上一层也就是上一状态下 背包容量为4时的能装的最大价值，用它来更新下一层的这一状态，也就是加入了价值为9的物品的新状态。

这时候如果是正序遍历会怎么样？ g(10) = g(4) + 6 ，这个式子里的g(4)就不再是上一层的了，因为你是正序啊，g(4) 比g(10)提前更新，那么此时程序已经没法读取到上一层的g(4)了，新更新的下一层的g(4)覆盖掉了，这里也就是为啥有题解说一件物品被拿了两次的原因。

解释二、01背包到底先遍历物品还是先遍历背包呢？

其实在二维的时候，即使是先遍历背包重量，再遍历物品重量，你真的画图的时候会发现，永远的数据来源，依旧还是max(不放，放）= max(正上方的值，左上角的值)。

那你在一维的时候，如果先遍历背包容量的话:

如果你还是从左到右地遍历背包容量：一样会造成重复添加；

如果你从右到左地遍历背包容量：相当于你的计算顺序是先竖着写完第四列，再竖着写完第三列，再竖着写完第二列。。。但你写第四列的时候，第三列全部都是空的，左边是没有数据的，你永远只在累加正上方的数。而如果你是先遍历物品再遍历背包，你的填空顺序是，先写第一行（从右往左写），再写第二行的时候，你的左边是有数字的。。。

那你可能想问，我能不能做一个竖着的表格更新呢？其实没有帮助的，你只要先一股脑地竖着算，你永远没法利用起左边格子的数字——无法利用之前格子的数，那就不是动态规划了

解释三、为什么完全背包可以颠倒物品和背包的遍历顺序？

请想像一下 01背包的二维dp数组图像 和 完全背包的二维dp数组图像

01背包 的二维数组dp[i] [j]只取决于其左上角的值，所以 使用二维数组时可以从对物品和背包数组进行正序遍历，且先物品还是先背包可以颠倒

01背包的一维数组dp[j] 因为

背包必须要倒序遍历（参考上面解释一、01背包 一维 ：为什么要倒序遍历背包）

↓

如果遍历背包容量放在上一层，那么每个dp[j]就只会放入一个物品，即：背包里只放入了一个物品（解释二）

↓

所以要先物品后背包

完全背包其dp[j]完全取决于

// 先遍历物品再遍历背包
import java.util.*;public class Main {public static void main (String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int N = sc.nextInt();int V = sc.nextInt();int[] weights = new int[N];int[] values = new int[N];for(int i = 0; i < N; ++i) {weights[i] = sc.nextInt();values[i] = sc.nextInt();}int[] dp = new int[V + 1];for(int i = 0; i < N; ++i) {for(int j = weights[i]; j <= V; ++j) {dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weights[i]] + values[i]);}}System.out.println(dp[V]);}
}
// 先遍历背包再遍历物品
import java.util.*;public class Main {public static void main (String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int N = sc.nextInt();int V = sc.nextInt();int[] weights = new int[N];int[] values = new int[N];for(int i = 0; i < N; ++i) {weights[i] = sc.nextInt();values[i] = sc.nextInt();}int[] dp = new int[V + 1];for(int j = 1; j <= V; ++j) {for(int i = 0; i < N; ++i) {if(j >= weights[i]) {dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weights[i]] + values[i]);}                }}System.out.println(dp[V]);}
}

零钱兑换 II

题目链接：518. 零钱兑换 II - 力扣（LeetCode）

这道题就是 494. 目标和 - 力扣（LeetCode）的完全背包版本

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

class Solution {public int change(int amount, int[] coins) {//  硬币数量不限 -> 完全背包// dp[j] 表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法int[] dp = new int[amount + 1];// dp[0] = 1是 递归公式的基础。如果dp[0] = 0 的话，后面所有推导出来的值都是0了。dp[0] = 1;// 因为纯完全背包求得装满背包的最大价值是多少，和凑成总和的元素有没有顺序没关系，即：有顺序也行，没有顺序也行！// 而本题要求凑成总和的组合数，元素之间明确要求没有顺序/**以coins[0] = 1, coins[1] = 5， amount = 6为例先遍历物品，就是先把1加入计算，然后再把5加入计算 -> 这样得到的是 组合先遍历背包，背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况-> 这样得到的是 排列 不理解的话可以打印dp数组来看看*/for(int i = 0; i < coins.length; ++i) {for(int j = coins[i]; j <= amount; ++j) {dp[j] += dp[j - coins[i]];}for(int ele : dp) {System.out.print(ele + ",");}System.out.println(" ");}return dp[amount];}
}  

组合总和 Ⅳ

题目链接：377. 组合总和 Ⅳ - 力扣（LeetCode）

本题与动态规划：518.零钱兑换II (opens new window)就是一个鲜明的对比，一个是求排列，一个是求组合，遍历顺序完全不同

class Solution {public int combinationSum4(int[] nums, int target) {int[] dp = new int[target + 1];dp[0] = 1;for (int i = 0; i <= target; i++) {for (int j = 0; j < nums.length; j++) {if (i >= nums[j]) {dp[i] += dp[i - nums[j]];}}}return dp[target];}
}