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所谓线性最小二乘法，可以理解为是解方程的延续，区别在于，当未知量远小于方程数的时候，将得到一个无解的问题。最小二乘法的实质，是保证误差最小的情况下对未知数进行赋值。

最小二乘法是非常经典的算法，而且这个名字我们在高中的时候就已经接触了，属于极其常用的算法。此前曾经写过线性最小二乘法的原理，并用Python实现：最小二乘法及其Python实现；以及scipy中非线性最小二乘法的调用方式：非线性最小二乘法；还有稀疏矩阵的最小二乘法：稀疏矩阵最小二乘法。

下面讲对numpy和scipy中实现的线性最小二乘法进行说明，并比较二者的速度。

numpy实现

numpy中便实现了最小二乘法，即lstsq(a,b)用于求解类似于a@x=b中的x，其中，a为$M\times N$的矩阵；则当b为$M$行的向量时，刚好相当于求解线性方程组。对于$Ax=b$这样的方程组，如果$A$是满秩仿真，那么可以表示为$x=A^{-1}b$，否则可以表示为$x=(A^{T}A{)}^{-1}{A}^{T}b$。

当b为$M\times K$的矩阵时，则对每一列，都会计算一组x。

其返回值共有4个，分别是拟合得到的x、拟合误差、矩阵a的秩、以及矩阵a的单值形式。

import numpy as np
np.random.seed(42)
M = np.random.rand(4,4)
x = np.arange(4)
y = M@x
xhat = np.linalg.lstsq(M,y)
print(xhat[0])
#[0. 1. 2. 3.]

scipy封装

scipy.linalg同样提供了最小二乘法函数，函数名同样是lstsq，其参数列表为

lstsq(a, b, cond=None, overwrite_a=False, overwrite_b=False, check_finite=True, lapack_driver=None)

其中a, b即$Ax=b$，二者均提供可覆写开关，设为True可以节省运行时间，此外，函数也支持有限性检查，这是linalg中许多函数都具备的选项。其返回值与numpy中的最小二乘函数相同。

cond为浮点型参数，表示奇异值阈值，当奇异值小于cond时将舍弃。

lapack_driver为字符串选项，表示选用何种LAPACK中的算法引擎，可选'gelsd', 'gelsy', 'gelss'。

import scipy.linalg as sl
xhat1 = sl.lstsq(M, y)
print(xhat1[0])
# [0. 1. 2. 3.]

速度对比

最后，对着两组最小二乘函数做一个速度上的对比

from timeit import timeit
N = 100
A = np.random.rand(N,N)
b = np.arange(N)timeit(lambda:np.linalg.lstsq(A, b), number=10)
# 0.015487500000745058
timeit(lambda:sl.lstsq(A, b), number=10)
# 0.011151800004881807

这一次，二者并没有拉开太大的差距，即使将矩阵维度放大到500，二者也是半斤八两。

N = 500
A = np.random.rand(N,N)
b = np.arange(N)timeit(lambda:np.linalg.lstsq(A, b), number=10)
0.389679799991427
timeit(lambda:sl.lstsq(A, b), number=10)
0.35642060000100173