广东省建设工程造价管理协会网站,官方微网站,wordpress配置文件ip,郑州企业建站模板文章目录 abstract对弧长的曲线积分曲线形构件的质量第一类曲线积分曲线积分存在性利用曲线积分的定义描述曲线形构件质量问题推广曲线积分可加性闭曲线积分 曲线积分性质曲线积分的计算方法证明(部分推导) 小结曲线弧显函数形式方程下的曲线积分公式推广例例例 abstract
在积… 文章目录 abstract对弧长的曲线积分曲线形构件的质量第一类曲线积分曲线积分存在性利用曲线积分的定义描述曲线形构件质量问题推广曲线积分可加性闭曲线积分 曲线积分性质曲线积分的计算方法证明(部分推导) 小结曲线弧显函数形式方程下的曲线积分公式推广例例例 abstract
在积分学中,积分范围先是从数轴上(直线)的一个区间的情形,推广到平面或看空间内的一个闭区域的情形不仅如此,积分概念可以推广到积分范围为一段曲线弧或一片曲面的情形,分别称为曲线积分和曲面积分
对弧长的曲线积分
曲线形构件的质量
对弧长的曲线积分源自某些问题的研究,其中最经典的一个问题模型是曲线形构建的质量问题 在讨论定积分和二重积分时,分别对应曲边梯形面积问题和曲顶柱体的体积问题而理解曲线积分时,用类似理解定积分时的几何的角度就不容易,也不太合适,而从物理意义角度就比较合适 通过对这个问题问题模型的抽象,定义出弧长的曲线积分(第一类曲线积分)
第一类曲线积分
定义:设 L L L为 x O y xOy xOy面内的一条光滑曲线弧,函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在 L L L上有界,在 L L L上任意插入一系列点 M 1 , ⋯ , M n − 1 M_1,\cdots,M_{n-1} M1,⋯,Mn−1,把 L L L分成 n n n个小段设第 i i i小段的长度为 Δ s i \Delta{s_i} Δsi,又 ( ξ i , η i ) (\xi_i,\eta_i) (ξi,ηi)为第 i i i个小段上任意取定的,作乘积 f ( ξ i , η i ) Δ s i f(\xi_i,\eta_i)\Delta{s_i} f(ξi,ηi)Δsi(0), ( i 1 , 2 , ⋯ , n ) (i1,2,\cdots,n) (i1,2,⋯,n),并作和式 ∑ i 1 n f ( ξ i , η i ) Δ s i \sum_{i1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta{s_i} ∑i1nf(ξi,ηi)Δsi(1)若当各个小弧段的长度的最大值 λ → 0 \lambda\to{0} λ→0时,式(1)的极限总存在,切曲线弧 L L L的分法以及点 ( ξ i , η i ) (\xi_i,\eta_i) (ξi,ηi)的取法无关,则称此极限为函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在曲线弧 L L L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记为 ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds,即 ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds lim λ → 0 ∑ i 1 n f ( ξ i , η i ) Δ s i \lim\limits_{\lambda\to{0}} \sum_{i1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta{s_i} λ→0lim∑i1nf(ξi,ηi)Δsi(3)其中 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)称为被积函数, L L L称为积分弧段(积分弧段类似于定积分的积分区间或重积分的积分区域) 而弧段元素 Δ s i \Delta{s_i} Δsi或 d s \mathrm{d}s ds类似于定积分 ∫ a b f ( x ) d x \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x ∫abf(x)dx中的区间元素 d x \mathrm{d}x dx Note: f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)和 L L L的方程是相对独立的,最简单的情形是 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)为常数 L L L为直线方程
曲线积分存在性 当 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在光滑曲线弧 L L L上连续时,对弧长的曲线积分 ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds总是存在的 在讨论曲线积分时,我们总假定 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在 L L L上是连续的 函数在曲线上连续表示?(TODO)
利用曲线积分的定义描述曲线形构件质量问题
根据上述定义,曲线形构件的质量 m m m当线密度 μ ( x , y ) \mu(x,y) μ(x,y)在 L L L上连续时,就有等于 μ ( x , y ) \mu(x,y) μ(x,y)对弧长的曲线积分,即 m ∫ L μ ( x , y ) d s m\int_{L}\mu(x,y)\mathrm{d}s m∫Lμ(x,y)ds(4)
推广
上述曲线积分的定义是平面曲线积分,可以类似地推广到积分弧段为空间曲线 Γ \Gamma Γ的情形,即函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)在曲线弧 Γ \Gamma Γ上对弧长的曲线积分 ∫ Γ f ( x , y , z ) d s \int_{\Gamma}f(x,y,z)\mathrm{d}s ∫Γf(x,y,z)ds lim λ → 0 ∑ i 1 n f ( ξ i , η i , ξ i ) Δ s i \lim\limits_{\lambda\to{0}}\sum_{i1}^{n}f(\xi_i,\eta_i,\xi_i)\Delta{s_i} λ→0lim∑i1nf(ξi,ηi,ξi)Δsi(5) f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)可以表示空间中坐标为 x , y , z x,y,z x,y,z的点处的密度(点附近小区域密度的代表值)
曲线积分可加性
若 L L L是分段光滑的(有限个点不光滑),则规定函数在 L L L上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分之和(空间曲线 Γ \Gamma Γ也类似)例如设 L L L可分成两段光滑曲线弧 L 1 L_1 L1以及 L 2 L_2 L2,记为 L L 1 L 2 LL_1L_2 LL1L2),就规定 ∫ L 1 L 2 f ( x , y ) d s \int_{L_1L_2}f(x,y)\mathrm{d}s ∫L1L2f(x,y)ds ∫ L 1 f ( x , y ) d s \int_{L_1}f(x,y)\mathrm{d}s ∫L1f(x,y)ds ∫ L 2 f ( x , y ) d s \int_{L_2}f(x,y)\mathrm{d}s ∫L2f(x,y)ds(6)
闭曲线积分
若 L L L是闭曲线,则函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在闭曲线 L L L上对弧长的曲线积分记为 ∮ f ( x , y ) d s \oint{f(x,y)\mathrm{d}s} ∮f(x,y)ds
曲线积分性质
由对弧长的曲线积分的定义可知,其具有如下性质(这些性质和定积分类似)线性性 ∫ L [ α f ( x , y ) β g ( x , y ) ] d s \int_{L}[\alpha f(x,y)\beta{g(x,y)}]\mathrm{d}s ∫L[αf(x,y)βg(x,y)]ds α ∫ L f ( x , y ) d s \alpha\int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s α∫Lf(x,y)ds β ∫ L g ( x , y ) d s \beta\int_{L}g(x,y)\mathrm{d}s β∫Lg(x,y)ds(7) 可加性 若积分弧段 L L L可分为两段光滑曲线弧 L 1 , L 2 L_1,L_2 L1,L2,则 ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds ∫ L 1 f ( x , y ) d s \int_{L_1}f(x,y)\mathrm{d}s ∫L1f(x,y)ds ∫ L 2 f ( x , y ) d s \int_{L_2}f(x,y)\mathrm{d}s ∫L2f(x,y)ds(8) 设 L L L上 f ( x , y ) ⩽ g ( x , y ) f(x,y)\leqslant{g(x,y)} f(x,y)⩽g(x,y),则 ∫ L f ( x , y ) d s ⩽ ∫ L g ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s\leqslant{\int_{L}g(x,y)\mathrm{d}s} ∫Lf(x,y)ds⩽∫Lg(x,y)ds(9) ∣ ∫ L f ( x , y ) d s ∣ ⩽ ∫ L ∣ f ( x , y ) ∣ d s |\int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s| \leqslant{\int_{L}|f(x,y)|\mathrm{d}s} ∣∫Lf(x,y)ds∣⩽∫L∣f(x,y)∣ds(10) 因为 − ∣ f ( x , y ) ∣ ⩽ f ( x , y ) ⩽ ∣ f ( x , y ) ∣ -|f(x,y)|\leqslant{f(x,y)}\leqslant{|f(x,y)|} −∣f(x,y)∣⩽f(x,y)⩽∣f(x,y)∣ − ∫ L ∣ f ( x , y ) ∣ d s ⩽ ∫ L f ( x , y ) d s ⩽ ∫ L ∣ f ( x , y ) ∣ d s -\int_{L}|f(x,y)|\mathrm{d}s\leqslant\int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s\leqslant{\int_{L}|f(x,y)|\mathrm{d}s} −∫L∣f(x,y)∣ds⩽∫Lf(x,y)ds⩽∫L∣f(x,y)∣ds改写成绝对值不等式即得证不等式
曲线积分的计算方法
定理:设 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在曲线弧 L L L上有定义且连续**, L L L的参数方程**为 x ϕ ( t ) x\phi(t) xϕ(t); y ψ ( t ) y\psi(t) yψ(t), t ∈ [ α , β ] t\in[\alpha,\beta] t∈[α,β] 若 ϕ ( t ) , ψ ( t ) \phi(t),\psi(t) ϕ(t),ψ(t)在 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]上具有一阶连续导数,且 ϕ ′ 2 ψ ′ 2 ( t ) ≠ 0 \phi^2\psi^2(t)\neq{0} ϕ′2ψ′2(t)0,则曲线积分 ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds存在,且 ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds ∫ α β [ f ( ϕ ( t ) , ψ ( t ) ) ] ϕ ′ 2 ( t ) ψ ′ 2 ( t ) d t \int_{\alpha}^{\beta}[f(\phi(t),\psi(t))]\sqrt{\phi^2(t)\psi^{2}(t)}\mathrm{d}t ∫αβ[f(ϕ(t),ψ(t))]ϕ′2(t)ψ′2(t) dt, ( α β ) (\alpha\beta) (αβ)(11)
证明(部分推导) 利用弧长公式,我们可以将第一类曲线积分化为定积分计算 弧长公式我们在定积分的应用中讨论过, s s s ∫ α β ϕ ′ 2 ( t ) ψ ′ 2 ( t ) d t \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\phi^2(t)\psi^2(t)}\mathrm{d}t ∫αβϕ′2(t)ψ′2(t) dt(12)令 r ( t ) ϕ ′ 2 ( t ) ψ ′ 2 ( t ) r(t)\sqrt{\phi^{2}(t)\psi^{2}(t)} r(t)ϕ′2(t)ψ′2(t) (12-1) 假定当参数 t t t由 α \alpha α变至 β \beta β时,曲线弧 L L L上的点 M ( x , y ) M(x,y) M(x,y)依点 A A A运动至 B B B,该过程描出曲线弧 L L L 在 L L L上取一列点: A M 0 , M 1 , ⋯ , M n B AM_0,M_1,\cdots,M_{n}B AM0,M1,⋯,MnB 设它们对应于一列单调增加的参数值 α t 0 t 1 ⋯ t n β \alphat_0t_1\cdotst_{n}\beta αt0t1⋯tnβ(这表明 ( α β ) (\alpha\beta) (αβ)) 根据对弧长的曲线积分的定义: ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds lim λ → 0 ∑ i 1 n f ( ξ i , η i ) Δ s i \lim\limits_{\lambda\to{0}} \sum_{i1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta{s_i} λ→0lim∑i1nf(ξi,ηi)Δsi(即式(3)) 设点 ( ξ i , η i ) (\xi_i,\eta_i) (ξi,ηi)对应于参数值 τ i \tau_{i} τi,即 ξ i ϕ ( τ i ) \xi_{i}\phi(\tau_i) ξiϕ(τi), η i ϕ ( τ i ) \eta_{i}\phi(\tau_i) ηiϕ(τi)(13),这里 τ i ∈ [ t i − 1 , t i ] \tau_{i}\in[t_{i-1},t_{i}] τi∈[ti−1,ti],记 t i − 1 → t i t_{i-1}\to{t_{i}} ti−1→ti在 L L L上对应的弧长为 Δ s i \Delta{s}_{i} Δsi,使用弧长公式(12),有 Δ s i \Delta{s_{i}} Δsi ∫ t i − 1 t i ϕ ′ 2 ( t ) ψ ′ 2 ( t ) d t \int_{t_{i-1}}^{t_{i}}\sqrt{\phi^2(t)\psi^2(t)}\mathrm{d}t ∫ti−1tiϕ′2(t)ψ′2(t) dt(14)由积分中值定理: Δ s i \Delta{s}_{i} Δsi ϕ ′ 2 ( τ i ′ ) ψ ′ 2 ( τ i ′ ) ⋅ Δ t i \sqrt{\phi^2(\tau_{i})\psi^2(\tau_{i})}\cdot {\Delta{t_{i}}} ϕ′2(τi′)ψ′2(τi′) ⋅Δti(15);其中 Δ t i \Delta{t_{i}} Δti t i − t i − 1 t_{i}-t_{i-1} ti−ti−1, τ i ′ ∈ [ t i − 1 , t i ] \tau_{i}\in[t_{i-1},t_{i}] τi′∈[ti−1,ti]于是Note:这里 τ i , τ i ′ \tau_i,\tau_i τi,τi′有联系(都是 [ t i − 1 , t i ] [t_{i-1},t_{i}] [ti−1,ti]区间上的点),但并不相同将式(13),(15)代入到式(3),于是 ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds lim λ → 0 ∑ i 1 n f [ ϕ ( τ i ) , ψ ( τ i ) ] ϕ ′ 2 ( τ i ′ ) ψ ′ 2 ( τ i ′ ) Δ t i \lim\limits_{\lambda\to{0}}\sum_{i1}^{n}f[\phi(\tau_{i}),\psi(\tau_{i})]\sqrt{\phi^{2}(\tau_{i})\psi^{2}(\tau_{i})}\Delta{t_{i}} λ→0lim∑i1nf[ϕ(τi),ψ(τi)]ϕ′2(τi′)ψ′2(τi′) Δti(16)由于函数(12-1)在闭区间 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]上连续,可以把上式中 r i ′ r_{i} ri′替换为 r i r_{i} ri,从而式(16)写作式(11) 这一步要用到(12-1)函数在 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]上的一致连续性 式(11)等号右端是一个定积分式子,因为其被积函数在 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]上连续,所以这个定积分是存在的,因此式(11)等号左端 ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds也存在;并且可以有式(11)计算结果
小结
公式(11)表明,计算对弧长的曲线积分 f L f ( x , y ) d s f_{L}f(x,y)\mathrm{d}s fLf(x,y)ds时,只要将 x , y , d s x,y,\mathrm{d}s x,y,ds分别替换为: ϕ ( t ) , ψ ( t ) , ϕ ′ 2 t ) ψ ′ 2 ( t ) d t \phi(t),\psi(t),\sqrt{\phi^2{t)\psi^2(t)}}\mathrm{d}t ϕ(t),ψ(t),ϕ′2t)ψ′2(t) dt然后做 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]上的定积分即可 ( α β ) (\alpha\beta) (αβ)
曲线弧显函数形式方程下的曲线积分公式
若曲线弧 L L L由方程 y ψ ( x ) y\psi(x) yψ(x)(17), ( x ∈ [ x 0 , X ] ) (x\in[x_0,X]) (x∈[x0,X])给出,则可以把这种情况看作特殊的参数方程:(参数方程的简单情形) x t xt xt, y ψ ( t ) y\psi(t) yψ(t), t ∈ [ x 0 , X ] t\in[x_{0},X] t∈[x0,X](17-1) 将其代入公式(11),得 ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds ∫ x 0 X f ( x , ψ ( x ) ) 1 ψ ′ 2 ( x ) d x \int_{x_0}^{X}f(x,\psi(x)) \sqrt{1\psi^{2}(x)}\mathrm{d}x ∫x0Xf(x,ψ(x))1ψ′2(x) dx, ( x 0 X ) (x_0X) (x0X)(18)类似地,若曲线弧 L L L由方程 x ϕ ( y ) x\phi(y) xϕ(y)(19), ( y ∈ [ y 0 , Y ] ) (y\in[y_0,Y]) (y∈[y0,Y])给出 y t yt yt, x ϕ ( t ) x\phi(t) xϕ(t)(19-1), ( y ∈ [ y 0 , Y ] ) (y\in[y_0,Y]) (y∈[y0,Y]) 则 ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds ∫ y 0 Y f ( ϕ ( y ) , y ) 1 ϕ ′ 2 ( y ) d y \int_{y_0}^{Y}f(\phi(y),y) \sqrt{1\phi^{2}(y)}\mathrm{d}y ∫y0Yf(ϕ(y),y)1ϕ′2(y) dy, y 0 Y y_{0}Y y0Y(20)
推广
若空间曲线 Γ \Gamma Γ由参数方程 x ϕ ( t ) x\phi(t) xϕ(t), y ψ ( t ) y\psi(t) yψ(t), z ω t z\omega{t} zωt, t ∈ [ α , β ] t\in[\alpha,\beta] t∈[α,β]给出的情形,这时 f L f ( x , y , z ) d s f_{L}f(x,y,z)\mathrm{d}s fLf(x,y,z)ds ∫ α β [ f ( ϕ ( t ) , ψ ( t ) , ω ( t ) ) ] ϕ ′ 2 ( t ) ψ ′ 2 ( t ) ω ′ 2 ( t ) d t \int_{\alpha}^{\beta}[f(\phi(t),\psi(t),\omega(t))]\sqrt{\phi^2(t)\psi^{2}(t)\omega^{2}(t)}\mathrm{d}t ∫αβ[f(ϕ(t),ψ(t),ω(t))]ϕ′2(t)ψ′2(t)ω′2(t) dt ( α β ) (\alpha\beta) (αβ)
例
计算 ∫ L y d s \int_{L}\sqrt{y}\mathrm{d}s ∫Ly ds其中 L L L时抛物线 y x 2 yx^2 yx2上点 O ( 0 , 0 ) O(0,0) O(0,0)与 B ( 1 , 1 ) B(1,1) B(1,1)之间的一段弧 曲线 L L L表示为 x x x为参数的参数方程: y x 2 yx^2 yx2, x ∈ [ 0 , 1 ] x\in[0,1] x∈[0,1] ∫ L y d s \int_{L}\sqrt{y}\mathrm{d}s ∫Ly ds ∫ 0 1 x 2 1 ( x 2 ) ′ 2 d x \int_{0}^{1}\sqrt{x^2}\sqrt{1(x^2)^2}\mathrm{d}x ∫01x2 1(x2)′2 dx ∫ 0 1 x 1 4 x 2 d x \int_{0}^{1}x\sqrt{14x^2}\mathrm{d}x ∫01x14x2 dx 第一换元法: 1 2 ∫ 0 1 1 4 x 2 d x 2 \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\sqrt{14x^2}\mathrm{d}x^2 21∫0114x2 dx2 1 8 ∫ 0 1 1 4 x 2 d ( 4 x 2 1 ) \frac{1}{8}\int_{0}^{1}\sqrt{14x^2}\mathrm{d}(4x^21) 81∫0114x2 d(4x21) 1 8 2 3 ( 1 4 x 2 ) 3 2 ∣ 0 1 \frac{1}{8}\frac{2}{3}(14x^2)^{\frac{3}{2}}|_{0}^{1} 8132(14x2)23∣01 1 12 [ ( 1 4 ) 3 2 − 1 ] \frac{1}{12}[(14)^{\frac{3}{2}}-1] 121[(14)23−1] 1 12 ( 5 5 − 1 ) \frac{1}{12}(5\sqrt{5}-1) 121(55 −1)
例 若 L L L: x R cos θ xR\cos\theta xRcosθ, y R sin θ yR\sin\theta yRsinθ, θ ∈ [ − α , α ] \theta\in[-\alpha,\alpha] θ∈[−α,α] I I I ∫ L y 2 d s \int_{L}y^2\mathrm{d}s ∫Ly2ds ∫ − α α R 2 sin 2 θ ( − R sin θ ) 2 ( R cos θ ) 2 d θ \int_{-\alpha}^{\alpha}R^2\sin^2\theta\sqrt{(-R\sin\theta)^2(R\cos\theta)^2}\mathrm{d}\theta ∫−ααR2sin2θ(−Rsinθ)2(Rcosθ)2 dθ R 3 ∫ − a a sin 2 θ d θ R^3\int_{-a}^{a}\sin^2\theta\mathrm{d}\theta R3∫−aasin2θdθ R 3 2 [ θ − sin 2 θ 2 ] − α α \frac{R^3}{2}[\theta-\frac{\sin 2\theta}{2}]_{-\alpha}^{\alpha} 2R3[θ−2sin2θ]−αα R 3 2 ( 2 α − sin 2 α ) \frac{R^3}{2}(2\alpha-\sin2\alpha) 2R3(2α−sin2α) R 3 ( α − sin α cos α ) R^3(\alpha-\sin\alpha\cos\alpha) R3(α−sinαcosα)
例
若 L L L: x a cos t xa\cos{t} xacost, y a sin t ya\sin{t} yasint, z k t zkt zkt, t ∈ [ 0 , 2 π ] t\in[0,2\pi] t∈[0,2π],求 I I I ∫ Γ ( x 2 y 2 z 2 ) d s \int_{\Gamma}(x^2y^2z^2)\mathrm{d}s ∫Γ(x2y2z2)ds I I I ∫ Γ ( a 2 cos 2 t a 2 sin 2 t k 2 t 2 ) ( − a sin t ) 2 ( a cos t ) 2 k 2 d t \int_{\Gamma}(a^2\cos^2{t}a^2\sin^2tk^2t^2)\sqrt{(-a\sin{t})^2(a\cos{t})^2k^2}\mathrm{d}t ∫Γ(a2cos2ta2sin2tk2t2)(−asint)2(acost)2k2 dt ∫ 0 2 π ( a 2 k 2 t 2 ) a 2 k 2 d t \int_{0}^{2\pi}(a^2k^2t^2)\sqrt{a^2k^2}\mathrm{d}t ∫02π(a2k2t2)a2k2 dt a 2 k 2 [ a 2 t k 2 3 t 3 ] 0 2 π \sqrt{a^2k^2}[a^2t\frac{k^2}{3}t^3]_{0}^{2\pi} a2k2 [a2t3k2t3]02π 提取与 t t t无关的因式 a 2 k 2 \sqrt{a^2k^2} a2k2 到积分号前 a 2 k 2 [ 2 a 2 π 8 3 k 2 π 2 ] \sqrt{a^2k^2}[2a^2\pi\frac{8}{3}k^2\pi^2] a2k2 [2a2π38k2π2] 2 π 3 a 2 k 2 ( 3 a 2 4 π 2 k 2 ) \frac{2\pi}{3}\sqrt{a^2k^2}(3a^24\pi^2k^2) 32πa2k2 (3a24π2k2)
