logo制作生成器,泉州做网站优化公司,利州区住房和城乡建设部网站,湖北潜江资讯网专栏系列文章如下#xff1a; 【视觉SLAM十四讲学习笔记】第一讲——SLAM介绍 【视觉SLAM十四讲学习笔记】第二讲——初识SLAM 【视觉SLAM十四讲学习笔记】第三讲——旋转矩阵 【视觉SLAM十四讲学习笔记】第三讲——旋转向量和欧拉角 本章将介绍视觉SLAM的基本问题之一#x…专栏系列文章如下 【视觉SLAM十四讲学习笔记】第一讲——SLAM介绍 【视觉SLAM十四讲学习笔记】第二讲——初识SLAM 【视觉SLAM十四讲学习笔记】第三讲——旋转矩阵 【视觉SLAM十四讲学习笔记】第三讲——旋转向量和欧拉角 本章将介绍视觉SLAM的基本问题之一如何描述刚体在三维空间中的运动 四元数
四元数的定义
旋转矩阵用9个量描述3自由度的旋转具有冗余性欧拉角和旋转向量是紧凑的但具有奇异性。事实上我们找不到不带奇异性的三维向量描述方式。类似于用两个坐标表示地球表面如经度和纬度必定存在奇异性纬度为 ±90° 时经度无意义。回忆以前学习过的复数。我们用复数集C表示复平面上的向量而复数的乘法则表示复平面上的旋转乘上复数i相当于逆时针把一个复向量旋转 90°。类似地在表达三维空间旋转时也有一种类似于复数的代数四元数Quaternion。四元数是Hamilton找到的一种扩展的复数。它既是紧凑的也没有奇异性。缺点是四元数不够直观其运算稍复杂些。
把四元数与复数类比可以更快地理解四元数。例如当我们想要将复平面的向量旋转 θ 角时可以给这个复向量乘以 e^iθ。这是极坐标表示的复数它也可以写成普通的形式只要使用欧拉公式即可 这是一个单位长度的复数。所以在二维情况下旋转可以由单位复数来描述。类似地三维旋转则可以由单位四元数来描述。
一个四元数q拥有一个实部和三个虚部示例如下 其中ijk为四元数的三个虚部。这三个虚部满足以下关系式 如果把ijk看成三个坐标轴那么它们与自己的乘法和复数一样相互之间的乘法和外积一样。有时人们也用一个标量和一个向量来表达四元数 这里s 称为四元数的实部v称为它的虚部。如果一个四元数的虚部为0称之为实四元数。反之若它的实部为 0则称之为虚四元数。
可以用单位四元数表示三维空间中任意一个旋转不过这种表达方式和复数有些许不同。在复数中乘以i意味着旋转 90°。这是否意味着四元数中乘i就是绕i轴旋转90°那么ijk是否意味着先绕i转90°再绕j转90°就等于绕k转90°
非也。应该是乘以i对应着旋转180◦这样才能保证ijk的性质。而i^2 −1意味着绕i轴旋转360°后得到一个相反的东西。这个东西要旋转两周720°才会和它原先的样子相等。是不是很抽象
四元数的运算
四元数常见的运算有四则运算、数乘、求逆、共轭等。
现在有两个四元数原始表示为 它们的向量表示为 那么其运算可表示如下 加法和减法 乘法 乘法是把qa的每一项和qb的每项相乘最后相加 如果写成向量形式并利用内外积运算该表达式会更加简洁 在该乘法定义下两个实四元数乘积仍是实的这与负数是一致的。然而我们注意到由于最后一项外积的存在四元数乘法通常是不可交换的除非va和vb在R^3中共线此时外积项为零。 模长 四元数的模长定义为
可以验证两个四元数乘积的模即模的乘积。这使得单位四元数相乘后仍是单位四元数。 共轭 四元数的共轭是把虚部取成相反数
四元数共轭与其本身相乘会得到一个实四元数其实部为模长的平方
5. 逆
一个四元数的逆为
按此定义四元数和自己的逆的乘积为实四元数1
如果q为单位四元数其逆和共轭就是同一个量。同时乘积的逆具有和矩阵相似的性质 数乘 和向量相似四元数可以与数相乘
用四元数表示旋转
我们可以用四元数表达对一个点的旋转。假设有一个空间三维点
以及一个由单位四元数q指定的旋转。三维点p经过旋转之后变为p‘。如果使用矩阵描述那么有p’Rp。而如果用四元数描述旋转它们的关系又如何表达呢
首先把三位空间点用一个虚四元数来描述
相当于把四元数的3个虚部与空间中的3个轴相对应。那么旋转后的点p‘可表示为这样的乘积 这里的乘法均为四元数乘法结果也是四元数。最后把p’的虚部取出即得旋转之后点的坐标。并且计算结果的实部为0故为纯虚四元数。
四元数到其他旋转表示的转换
任意单位四元数描述了一个旋转该旋转也可用旋转矩阵或旋转向量描述。四元数乘法也可以写成一种矩阵的乘法。设q [s,v]^T那么定义如下的符号 和 ⊕ 为 这两个符号将四元数映射成为一个 4×4 的矩阵。于是四元数乘法可以写成矩阵的形式 同理亦可证 然后考虑使用四元数对空间点进行旋转的问题 代入两个符号对应的矩阵得 因为p′和p都是虚四元数那么事实上该矩阵的右下角即给出了从四元数到旋转矩阵的变换关系 对上式两侧求迹得 又由 得到 即 所以 总而言之四元数到旋转向量的转换公式如下 …(img-gkaQjiLn-1701177419079)]
代入两个符号对应的矩阵得
[外链图片转存中…(img-vQsuOEIL-1701177419080)]
因为p′和p都是虚四元数那么事实上该矩阵的右下角即给出了从四元数到旋转矩阵的变换关系
