网站的关于我们页面,网址导航打不开怎么办,专业的网站建设设计,南阳商城站雅可比矩阵计算
雅可比矩阵的定义
假设我们有一个简单的两个关节的平面机器人臂#xff0c;其末端执行器的位置可以表示为#xff1a; 其中#xff1a;
L1 和 L2 是机器人臂的长度。θ1 和 θ2是关节的角度。
计算雅可比矩阵
雅可比矩阵 JJ 的定义是将关节速度与末…雅可比矩阵计算
雅可比矩阵的定义
假设我们有一个简单的两个关节的平面机器人臂其末端执行器的位置可以表示为 其中
L1 和 L2 是机器人臂的长度。θ1 和 θ2是关节的角度。
计算雅可比矩阵
雅可比矩阵 JJ 的定义是将关节速度与末端执行器的速度联系起来因此我们需要对末端位置 (x,y) 进行对关节角度 (θ1,θ2)的偏导数计算 计算各偏导数
计算 ∂x/∂θ1: 计算 ∂x/∂θ2: 计算 ∂y/∂θ1: 计算 ∂y/∂θ2: 构造雅可比矩阵
现在我们将这些偏导数代入雅可比矩阵 示例参数
假设
L11L21θ1π/445度θ2π/445度
计算函数值 计算 J 中的各项 将这些值代入雅可比矩阵得到 结果为 雅可比伪逆
雅可比伪逆Jacobian Pseudoinverse是雅可比矩阵的一个重要扩展主要用于处理系统中的非线性或不适定问题。它常用来求解最小二乘问题和求逆运动学中的关节角度。以下是它的计算方法和主要用途。
计算雅可比伪逆
对于一个矩阵 J其伪逆 J 可以通过以下步骤计算 奇异值分解SVD 将雅可比矩阵 J分解为 JUΣVT 其中 U 和 V 是正交矩阵。Σ是对角矩阵包含 J 的奇异值。 计算伪逆 伪逆可以表示为 JVΣUT 其中 Σ是 Σ的伪逆具体为 如果 σi 是非零奇异值则其伪逆为 1/σi。对于零奇异值保持位置为0。
雅可比伪逆的用途 解决最小二乘问题 在很多情况下我们需要最小化误差。通过使用伪逆可以有效解决 Jxb 的最小二乘解 xJb 逆运动学 在求解机器人运动学中伪逆可以帮助找到关节角度使得末端执行器的位置尽可能接近期望的位置。当系统存在多解或没有解时伪逆能够提供一个合理的解。 速度控制 用于实现关节速度与末端速度之间的转换将末端的速度映射回关节空间。 处理测量噪声 在传感器测量不精确的情况下伪逆能够提供更稳健的解从而减少噪声对系统的影响。
力雅可比矩阵
力雅可比矩阵Force Jacobian Matrix是一个重要的工具用于描述机器人或机械系统中作用在末端执行器上的力与关节力之间的关系。它在机器人控制和力控制问题中起着关键作用。
力雅可比矩阵的定义
力雅可比矩阵通常表示为 JfJf用于将末端执行器的力或力矩映射到关节力或关节力矩 其中
F 是末端执行器施加的力向量。τ 是关节施加的力向量常称为关节扭矩。Jf是力雅可比矩阵。
计算力雅可比矩阵
计算方法通常依据运动学模型和系统的配置。以下是一般步骤 定义末端执行器的位置和姿态确定末端执行器相对于机器人的位置和姿态。 反向求导在求解冬锡变换Derivation of the Kinematic Model时通过对系统运动学方程的求导得到关于关节角度的变化对末端执行器的力的影响。 矩阵构造根据定义力雅可比矩阵的每一列通常由关节对末端执行器施加的力或扭矩的作用点位置来组成。这可以通过以下方式构造 对每个关节的力量影响进行建模包括关节自由度和末端执行器位置。考虑重力和外力等对雅可比矩阵的贡献。
力雅可比矩阵的用途 力控制在力控制任务中如抓取或施力操作力雅可比矩阵用于将目标末端执行器的力转变为关节力以实现目标力的精确控制。 模仿人类操作在机器人模仿人类动作时力雅可比矩阵帮助捕捉人类在执行任务时施加的力以及如何将其映射到机器人的关节上。 稳定性分析在动态负载情况下力雅可比矩阵可以帮助分析和保持系统的稳定性确保机器人能够在外部干扰下保持平衡。 联动控制在多关节系统中力雅可比矩阵有助于协调多个关节的动作以便同时实现特定的力和运动目标。
速度雅可比矩阵
速度雅可比矩阵Velocity Jacobian Matrix是描述机器人关节速度与末端执行器线性和角速度之间关系的工具。它通常用于运动学分析和机器人控制。
速度雅可比矩阵的定义
假设末端执行器的状态由位置 (x,y,θ) 表示其中 (x,y)是末端执行器的位置θ 是其朝向角。速度雅可比矩阵 Jv将关节速度 (θ˙1,θ˙2) 与末端执行器的线性速度 (x˙,y˙) 和角速度 θ˙ 关联起来形式为 计算速度雅可比矩阵
为计算速度雅可比矩阵我们需要取末端执行器位置和姿态对各关节角速度的偏导数。
1. 末端执行器的速度表达式
根据先前的示例末端执行器的位置是 将其速度表示为关节速度的线性组合 2. 计算偏导数
与之前相似我们计算偏导数
计算 ∂x/∂θ1 和 ∂x/∂θ2如前所示 计算 ∂y/∂θ1 和 ∂y/∂θ2 3. 构造速度雅可比矩阵
速度雅可比矩阵 Jv可以写成 将之前计算出的值代入 x˙ 表示末端执行器的线性速度特别是它在 x 方向的速度分量。类似地y˙ 表示在 y方向的速度分量θ˙表示末端执行器的角速度。
因此速度雅可比矩阵的意义是将关节角速度通过 θ˙1 和 θ˙2 表示转化为末端执行器的线性和角速度通过 x˙、y˙ 和 θ˙ 表示。 刚度Stiffness
定义刚度是指物体或系统抵抗变形的能力。刚度越大物体在外力作用下产生的变形越小。
数学表达式 刚度 K可以用弹性模量应力与应变的比值表示通常的关系为
KF/δ
其中
F 是施加的力δ 是由该力引起的变形量位移
柔度Compliance
定义柔度是刚度的倒数描述物体或系统在施加力时的变形能力。柔度越大物体在相同的力作用下产生的变形越大。
数学表达式 柔度 C 的定义为
Cδ/F1/K
