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算法是解决问题的方法与步骤。
在看一个算法是否优秀时#xff0c;我们一般都要考虑一个算法的时间复杂度和空间复杂度。
现在随着空间越来越大#xff0c;时间复杂度成为了一个算法的重要指标#xff0c;那么如何估计一个算法的时间复杂度呢#xf…第一课前缀和与差分
算法是解决问题的方法与步骤。
在看一个算法是否优秀时我们一般都要考虑一个算法的时间复杂度和空间复杂度。
现在随着空间越来越大时间复杂度成为了一个算法的重要指标那么如何估计一个算法的时间复杂度呢
常见的时间复杂度O(1) O(logn) O(n) O(nlogn) O(n2) O(2n) O(n!)
1.时间复杂度
时间复杂度分析算法的执行效率。
示例
时间复杂度为O(1)
int fun(int n){int in;int j3*n;return ij;
}时间复杂度为O(logn)
int fun(int n){int i1;while(in)i*2;return i;
}时间复杂度为O(n)
int fun(int n){int sum0;for(int i0;in;i){sumi;}return sum;
}时间复杂度为O(mn)
int fun(int m,int n){int sum0;for(int i1;im;i)sumi;for(int i1;in;i)sumi;return sum;
}时间复杂度为O(mlogn)
int fun(int m,int n){int sum0;for(int i0;im;i){for(int j0;jn;j){sumi*j;jj*2;}}return sum;
}时间复杂度为O(n2)
int fun(int n){int sum0;for(int i0;in;i){for(int j0;jn;j){sumi*j;}}return sum;
}时间复杂度为O(n!)
void fun(int k, int n) { //knif (k 1) {return;}for (int i n - k ; i n; i) {fun(k - 1, n);}
}
常见的时间复杂度O(1)O(logn)O(n)O(nlogn)O(n2)O(2n)O(n!)
通常情况下竞赛环境中要求运行时间为1秒。计算机1秒可以执行的次数为10亿次。10^9 2.空间复杂度
空间复杂度算法所占内存空间。
空间复杂度为O(1)
int fun(int n){int sum0;for(int i0;in;i)sumi;return sum;
}空间复杂度为O(n)
int fun(int n)
{int arr[N];while(iN)ii*2;return i;
}空间复杂度为O(MN)
int fun(int m,int n)
{int arr[M][N];for(int i1;im;i)for(int j1;jn;j)sumarr[i][j];return sum;
}**常见的时间复杂度O(1) O(n) O(n2) **
3.一维前缀和
前缀和可以用于快速计算一个序列的区间和也有很多问题里不是直接用前缀和但是借用了前缀和的思想。
3.1 概念
预处理出一个前缀和数组后要求一段区间和可以使用O(1)的时间复杂度快速求出。
公式
预处理:s[i]a[i]a[i-1]
求区间[l,r]:sums[r]-s[l-1]
‘前缀和数组’‘和’‘原数组’可以合二为一
3.2 例题
输入一个长度为 n 的整数序列。
接下来再输入 m 个询问每个询问输入一对 l,r。
对于每个询问输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
第二行包含 n 个整数表示整数数列。
接下来 m 行每行包含两个整数 l 和 r表示一个询问的区间范围。
输出格式
共 m 行每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤l≤r≤n 1≤n,m≤100000 −1000≤数列中元素的值≤1000
输入样例
5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4输出样例
3
6
10AC代码:
#include iostreamusing namespace std;const int N100010;int a[N];int main(){int n,m;scanf(%d,n);for(int i1;in;i)scanf(%d,a[i]);for(int i1;in;i)a[i]a[i-1]a[i];scanf(%d,m);while(m--){int l,r;scanf(%d%d,l,r);printf(%d\n,a[r]-a[l-1]);}return 0;
}4.二维前缀和
二维前缀和记录的是在一个二维矩阵中从左上角开始到矩阵的某个点构成的子矩阵中所有元素的和。
4.1 概念
预处理出一个前缀和二维数组后要求一段二维区间和可以使用O(1)的时间复杂度快速求出。
计算矩阵的前缀和s[x][y] s[x - 1][y] s[x][y -1] - s[x -1][y-1] a[x][y] 计算子矩阵的和计算子矩阵的和s s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] s[x1 - 1][y1 -1] 4.2 例题
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵再输入 q 个询问每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。
输入格式
第一行包含三个整数 nmq。
接下来 n 行每行包含 m 个整数表示整数矩阵。
接下来 q 行每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2表示一组询问。
输出格式
共 q 行每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤n,m≤1000 1≤q≤200000 1≤x1≤x2≤n 1≤y1≤y2≤m −1000≤矩阵内元素的值≤1000−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例
3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4输出样例
17
27
21AC代码:
#include iostreamusing namespace std;int s[1010][1010];int n,m,q;int main(){scanf(%d%d%d,n,m,q);for(int i1;in;i)for(int j1;jm;j)scanf(%d,s[i][j]);for(int i1;in;i)for(int j1;jm;j)s[i][j]s[i-1][j]s[i][j-1]-s[i-1][j-1];while(q--){int x1,y1,x2,y2;scanf(%d%d%d%d,x1,y1,x2,y2);printf(%d\n,s[x2][y2]-s[x2][y1-1]-s[x1-1][y2]s[x1-1][y1-1]);}return 0;
}5.一维差分
5.1 差分数组的定义及用途 1.定义对于已知有n个元素的离线数列a我们可以建立记录它每项与前一项差值的差分数组b显然b[1]a[1]-0a[1];对于整数i∈[2,n]我们让b[i]a[i]-a[i-1]。 2.简单性质 (1)计算数列各项的值观察a[2]b[1]b[2]a[1]a[2]-a[1]a[2]可知数列第i项的值是可以用差分数组的前i项的和计算的即a[i]b[i]的前缀和。 差分是前缀和的逆运算对于一个数组a其差分数组b的每一项都是a [ i ]和前一项a [ i − 1 ]的差。 即b [ i ] a [ i ] − a [ i − 1 ]。 通过差分数组b求b的前缀和就可以求得原数组a的每项值。 和前缀和类似的也是要留出索引是0的位置b [0]0方便计算。
注意差分数组和原数组必须分开存放
5.2 例题
输入一个长度为 n 的整数序列。
接下来输入 m 个操作每个操作包含三个整数 l,r,c表示将序列中 [l,r][,] 之间的每个数加上 c。
请你输出进行完所有操作后的序列。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
第二行包含 n 个整数表示整数序列。
接下来 m 行每行包含三个整数 lrc表示一个操作。
输出格式
共一行包含 n 个整数表示最终序列。
数据范围
1≤n,m≤100000 1≤l≤r≤n −1000≤c≤1000 −1000≤整数序列中元素的值≤1000
输入样例
6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1输出样例
3 4 5 3 4 2AC代码:
#include iostreamusing namespace std;
int a[100010],s[100010];int main(){int n,m;cinnm;for(int i1;in;i)cina[i]; for(int i1;in;i)s[i]a[i]-a[i-1];// 读入并计算差分数组while(m--){int l,r,c;cinlrc;s[l]c;s[r1]-c;// 在原数组中将区间[l, r]加上c}for(int i1;in;i){s[i]s[i-1];couts[i] ;}// 给差分数组计算前缀和就求出了原数组return 0;
}6.二维差分矩阵
6.1 二维差分的定义 二维差分用于在一个矩阵里快速里把矩阵的一个子矩阵加上一个固定的数。也是直接来修改差分矩阵。试想只要在差分矩阵的( x 1 , y 1 ) 位置加上c那么以它为左上角所有后面的元素就都加上了c。要让( x 2 , y 2 ) 的右边和下边的元素不受影响由容斥原理可以知道只要在( x 2 1 , y 1 ) 和( x 1 , y 2 1 ) 位置减去c再从( x 2 1 , y 2 1 ) 位置加回c就可以了。 6.2 例题
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵再输入 q 个操作每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c,其中 (x1,y1) 和 (x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。
请你将进行完所有操作后的矩阵输出。
输入格式
第一行包含整数 n,m,q。
接下来 n 行每行包含 m 个整数表示整数矩阵。
接下来 q 行每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c表示一个操作。
输出格式
共 n 行每行 m 个整数表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。
数据范围
1≤n,m≤1000 1≤q≤100000 1≤x1≤x2≤n 1≤y1≤y2≤m −1000≤c≤1000 −1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例
3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1输出样例
2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2AC代码:
#includeiostream
#includecstdio
using namespace std;
const int N 1e3 10;
int a[N][N], b[N][N];
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{b[x1][y1] c;b[x2 1][y1] - c;b[x1][y2 1] - c;b[x2 1][y2 1] c;
}
int main()
{int n, m, q;cin n m q;for (int i 1; i n; i)for (int j 1; j m; j)cin a[i][j];for (int i 1; i n; i){for (int j 1; j m; j){insert(i, j, i, j, a[i][j]); //构建差分数组}}while (q--){int x1, y1, x2, y2, c;cin x1 y1 x2 y2 c;insert(x1, y1, x2, y2, c);//加c}for (int i 1; i n; i){for (int j 1; j m; j){b[i][j] b[i - 1][j] b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1]; //二维前缀和}}for (int i 1; i n; i){for (int j 1; j m; j){printf(%d , b[i][j]);}printf(\n);}return 0;
}【背】关键代码
一维前缀和
预处理:s[i]a[i]a[i-1] //前缀和数组
求区间[l,r]:sums[r]-s[l-1] //求区间和二维前缀和
s[x][y] s[x - 1][y] s[x][y -1] - s[x -1][y-1] a[x][y] //二维前缀和数组s s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] s[x1 - 1][y1 -1]//计算子矩阵的和一维差分
b [ i ] a [ i ] − a [ i − 1 ]s[l]c;s[r1]-c;// 在原数组中将区间[l, r]加上c二维差分
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{b[x1][y1] c;b[x2 1][y1] - c;b[x1][y2 1] - c;b[x2 1][y2 1] c;
}insert(i, j, i, j, a[i][j]); //构建差分数组insert(x1, y1, x2, y2, c); //子矩阵加cb[i][j] b[i - 1][j] b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1]; //二维前缀和
