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1到n的n个连续的数字组成一个数组#xff0c;n为3的倍数。 每次按顺序从数组中取出3个元素#xff0c;去掉这3个元素中的一个最大值和一个最小值#xff0c;并将剩下的元素累计为S#xff0c;S初始值为0。 可以通过调整数组中元素的位置改变最终结果#xff0c;…题目描述
1到n的n个连续的数字组成一个数组n为3的倍数。 每次按顺序从数组中取出3个元素去掉这3个元素中的一个最大值和一个最小值并将剩下的元素累计为SS初始值为0。 可以通过调整数组中元素的位置改变最终结果每移动一个元素计为移动一次。 请计算最少移动几次可以使得数组和S最大。
输入描述: 数组长度n的范围为[3,600] 数组中数字范围[1,10000] 数组由一个字符串表示不同数字元素之间使用空格分隔
输出描述: 移动次数是一个自然数 无需移动返回0
用例
输入1 2 3输出0说明只有一个三元组[1,2,3]去掉最大最小值Q后剩下2S2。无需移动。
输入3 8 9 7 4 2 5 6 1输出1说明84517 三个三元组:389-8742-4561-5对应的S值为84517将7移动到56之间,三元组调整结果为389425761,389-8425-4761-684618,18 是所有排列中的最大值输出 1
通过BFS求解最小移动次数以最大化分组中位数和
解题思路与分析
题目要求我们通过最小移动次数调整数组元素位置使得数组分组后中位数和达到理论最大值。这是一个典型的状态空间搜索问题我们可以使用广度优先搜索(BFS) 来寻找最优解。
核心思路
理论最大S值通过数学推导理论最大S值为 (2 * n * n) // 9状态空间搜索 每个状态表示数组的一种排列状态转换移动一个元素到新位置目标状态S值达到理论最大值 BFS优势 逐层搜索保证找到最小移动次数解使用哈希集合记录访问状态避免重复计算
完整代码实现
from collections import dequedef calculate_s_value(arr):计算数组的S值将数组按每3个元素分组每组去掉最大值和最小值保留中间值所有中间值的和就是S值参数:arr: 输入数组返回:S值所有三元组中间值的和total_s 0# 按每3个元素进行分组处理for i in range(0, len(arr), 3):# 提取当前三元组并排序取中间值索引1triplet sorted([arr[i], arr[i1], arr[i2]])total_s triplet[1] # 累加中间值return total_sdef get_all_one_moves(arr):生成当前数组状态下所有可能的一步移动结果一步移动定义为取出一个元素插入到另一个位置参数:arr: 当前数组状态返回:所有可能的一步移动后的数组状态列表以tuple形式存储moves []n len(arr)# 遍历每个可以移动的元素位置for i in range(n):element arr[i] # 要移动的元素# 创建移除该元素后的临时数组temp_arr arr[:i] arr[i1:]# 尝试将该元素插入到每个可能的位置for j in range(n):# 构造插入元素后的新数组new_arr temp_arr[:j] [element] temp_arr[j:]# 只保留真正改变了状态的数组排除原地不动的情况if new_arr ! arr:moves.append(tuple(new_arr)) # 转换为tuple便于后续去重return movesdef solve():主求解函数使用BFS广度优先搜索找到达到最大S值所需的最少移动次数# 读取输入并解析为整数数组arr list(map(int, input().split()))n len(arr)# 计算理论最大S值# 根据题目提示最大S值为 2*n*n/9s_max (2 * n * n) // 9# 初始化BFS队列和访问集合# 队列元素格式(数组状态tuple, 移动次数)queue deque([(tuple(arr), 0)])# 使用集合记录已访问的状态避免重复搜索visited {tuple(arr)}# BFS主循环while queue:# 取出队首状态current_state, moves queue.popleft()# 将tuple转回list便于计算current_arr list(current_state)# 检查当前状态是否达到最大S值if calculate_s_value(current_arr) s_max:print(moves) # 输出最少移动次数return# 如果还没有超过最大搜索深度继续扩展搜索if moves n:# 获取当前状态的所有一步移动结果for next_state in get_all_one_moves(current_arr):# 如果这个状态没有被访问过if next_state not in visited:visited.add(next_state) # 标记为已访问# 将新状态加入队列移动次数1queue.append((next_state, moves 1))# 如果在n步内找不到解决方案输出n作为默认值# 理论上对于有效输入应该能在n步内找到解print(n)# 调用主求解函数
solve()代码实现解析
1. 计算S值函数
def calculate_s_value(arr):total_s 0for i in range(0, len(arr), 3):triplet sorted([arr[i], arr[i1], arr[i2]])total_s triplet[1]return total_s功能计算当前数组排列的S值实现按三个一组分割数组每组排序取中间值时间复杂度O(n)其中n为数组长度
2. 生成所有可能移动
def get_all_one_moves(arr):moves []n len(arr)for i in range(n):element arr[i]temp_arr arr[:i] arr[i1:]for j in range(n):new_arr temp_arr[:j] [element] temp_arr[j:]if new_arr ! arr:moves.append(tuple(new_arr))return moves功能生成所有一步移动后的可能状态关键操作 取出元素创建移除该元素的临时数组插入元素尝试所有可能的插入位置排除原地不动的情况 状态数量对长度为n的数组最多生成n × (n-1)个新状态
3. BFS主算法
def solve():arr list(map(int, input().split()))n len(arr)s_max (2 * n * n) // 9queue deque([(tuple(arr), 0)])visited {tuple(arr)}while queue:current_state, moves queue.popleft()current_arr list(current_state)if calculate_s_value(current_arr) s_max:print(moves)returnif moves n:for next_state in get_all_one_moves(current_arr):if next_state not in visited:visited.add(next_state)queue.append((next_state, moves 1))print(n)初始化开始状态为输入数组移动次数为0BFS核心 检查当前状态S值是否达到最大生成所有一步移动状态过滤已访问状态新状态加入队列 终止条件 找到目标状态输出移动次数超过n步未找到输出n作为安全值
示例解析
示例1输入 “1 2 3”
初始状态: (1, 2, 3)
S值计算: sorted([1,2,3])[1] 2
理论最大值: (2×3×3)//9 2
无需移动 → 输出0示例2输入 “3 8 9 7 4 2 5 6 1”
理论最大值: (2×9×9)//9 18
初始状态: [3,8,9,7,4,2,5,6,1]
初始S值: 第一组 [3,8,9] → 中位数8第二组 [7,4,2] → 中位数4第三组 [5,6,1] → 中位数5总S17BFS第一步:移动7到末尾: [3,8,9,4,2,5,6,1,7]分组: [3,8,9]→8, [4,2,5]→4, [6,1,7]→6 → S18 ✓移动次数1 → 输出1状态空间示例n3
初始状态: (1,2,3)
第一层移动:(2,1,3), (2,3,1)(3,1,2), (1,3,2)(1,2,3) 被排除总结与应用
关键知识点
BFS应用解决状态空间搜索问题问题建模将优化问题转化为状态转移问题移动操作元素移除与插入的实现技巧状态哈希使用元组和集合管理访问状态
适用场景
小规模组合优化问题n≤12需要精确最优解的场合移动操作定义明确的状态转移问题
核心启示 “BFS虽然不总是最高效的解法但在未知解深度且需要最优解的场景中它提供了一种可靠且直观的搜索策略。” 通过这个解法我们不仅解决了具体问题更重要的是展示了状态空间搜索的通用解法框架可应用于各类排列优化问题。初学者可从此案例学习如何将实际问题转化为状态空间搜索模型并实现基础BFS算法。
