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TOPSIS法（Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution）是一种常用的综合评价方法，该方法根据有限个评价对象与理想化目标的接近程度进行排序，是在现有的对象中进行相对优劣的评价。
TOPSIS法的原理是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序。具体来说，它首先确定各效用函数的单调性，然后计算评价对象与最优解和最劣解的距离，最后根据距离进行排序。其中，最优解的各指标值都达到各评价指标的最优值，而最劣解的各指标值都达到各评价指标的最差值。评价对象离最优解越近、离最劣解越远越好。
TOPSIS方法的一般步骤如下：
- 确定决策矩阵：首先，根据决策者的需求和各备选方案的特点，建立一个决策矩阵，其中每一行代表一个备选方案，每一列代表一个评价准则。
- 标准化决策矩阵：由于各准则的量纲和数值范围可能不同，需要对决策矩阵进行标准化处理，得到无量纲的决策矩阵。
- 确定加权决策矩阵：根据各准则的重要性，赋予相应的权重，然后计算加权决策矩阵。
- 确定理想解和负理想解：理想解是指在所有准则下都是最优的解，而负理想解则是在所有准则下都是最差的解。
- 计算各备选方案与理想解和负理想解的距离：对每个备选方案，分别计算其与理想解和负理想解的距离。
- 计算相对贴近度：根据各备选方案与理想解的距离和与负理想解的距离，计算其相对贴近度。
- 进行排序：根据相对贴近度的大小，对所有备选方案进行排序，贴近度越大的方案越优。
案例背景
本案例以2022年广西各地市的农产品产量进行建模，综合评价各地市的农业规模和水平。要求：求出各个评价对象与正理想解和负理想解的距离，并以此对各评价对象进行优劣排序。
import pandas as pd
import numpy as np
data = pd.read_clipboard()
data
# 向量归一化：极大型指标
normalization = np.linalg.norm(data.iloc[:,1:], axis=0)
norm_data = data.iloc[:,1:] / normalization
norm_data
# 求正理想解和负理想解
positive_ideal_solve = norm_data.max(axis=0)
negative_ideal_solve = norm_data.min(axis=0)
# 求正理想解的距离
positive_distance = np.linalg.norm(norm_data - positive_ideal_solve, axis=1)
# 求负理想解的距离
negative_distance = np.linalg.norm(norm_data - negative_ideal_solve, axis=1)
# 计算相对接近度
f1 = negative_distance / (negative_distance + positive_distance)
(data.assign(正理想解距离=positive_distance).assign(负理想解距离=negative_distance).assign(相对接近度=f1).assign(排名=lambda x: x.相对接近度.transform('rank', ascending=False))
)
总结
TOPSIS方法的优点在于它简单直观，易于理解和操作，且不需要复杂的数学运算。它适用于准则间存在冲突的情况，可以为决策者提供一个相对客观的决策依据。然而，TOPSIS方法也有其局限性，比如它假设准则之间是独立的，而实际上准则之间可能存在相互影响。此外，权重的确定在TOPSIS中也是一个主观的过程，可能会影响最终的决策结果。