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一、什么是混频？

  混频（Mixing）是信号处理中的一个核心概念，混频的本质是将两个信号相乘，从而产生新的频率分量。混频是将两个信号相乘的操作，通常一个是输入信号，另一个是称为“本振信号”（LO, Local Oscillator）的载波信号。混频产生的结果是：

1. 和频：$f_1+f_2$
2. 差频：$f_1-f_2$

  设两个信号分别为$x_1(t)=sin(2\pi f_{1}t)$和$x_2(t)=sin(2\pi f_{2}t)$，混频后的结果为：

$$xmixed(t)=sin(2\pi f_{1}t)\cdot sin(2\pi f_{2}t)=1/2[cos(2\pi (f_1-f_2)t)-cos(2\pi (f_1+f_2)t)]$$

  由此可以看到，混频的结果包含两个新的频率成分：$f_1+f_2$和$f_1-f_2$

二、为什么要进行混频？

  混频有多种用途，尤其在无线通信和音频处理领域应用广泛。以下是混频的几个主要应用场景：

1. 频率转换
     混频最常见的用途是将信号从一个频率范围转换到另一个频率范围：

• 下变频：把高频信号转换为较低的中频或基带频率，便于后续的处理。这通常用于接收端。例如，在无线通信中，天线接收到的信号是高频信号，直接处理非常困难。通过混频下变频，信号被转换成更低的中频（如几百kHz），便于解调和滤波。
• 上变频：把基带信号（低频信号）提升到高频，方便通过天线发送。这通常用于发送端。例如，音频信号的频率范围为20 Hz至20 kHz，但需要通过载波信号（如88 MHz到108 MHz的FM频段）进行上变频，才能通过天线发射到远处。

2. 调制和解调
     混频是信号调制和解调的基础：

• 调制：是将低频的基带信号移到高频，便于在通信链路上传输。调制技术包括幅度调制（AM）、频率调制（FM）和相位调制（PM），它们的核心操作之一就是混频。例如，在AM（幅度调制）中，基带信号和高频载波信号混频后，形成具有和频和差频成分的信号，这个信号可以通过载波频率发送出去。
• 解调：在接收端，信号通过混频还原到基带信号。混频器在接收端使用本地振荡器（LO）信号与接收到的高频信号混合，得到基带信号，之后进行后续处理。例如，在FM解调中，接收到的高频信号与本振信号混频，下变频到基带后，再通过其他方法提取出原始的音频信号。

3. 频谱搬移
     通过混频，信号的频谱可以被移动到特定的频段，这使得信号更容易处理或分析。例如，将宽带信号通过混频下变频到一个较窄的中频段后，可以用较低采样率的ADC进行数字化处理，节省硬件资源。

三、Matlab实现混频操作

  由上文可知，混频是在时域上将输入信号与本振信号相乘，由卷积定理可知：时域上的卷积等价于频域上的乘积，反之，时域上的乘积等价于频域上的卷积。因此我们matlab操作顺序为：

1. 创建两个时域信号，这里设置一个5M正弦信号，一个4M正弦信号。
2. 两个信号相乘得到一个新的信号
3. 对这三个信号进行快速傅里叶变换。
4. 显示这三个信号的时域波形以及频域波形。
     matlab代码如下：

% 参数设置
fs = 100e6;           % 采样频率为100 MHz
t = 0:1/fs:1e-6;      % 时间向量，1微秒的信号% 生成信号
f1 = 5e6;             % 5 MHz
f2 = 4e6;             % 4 MHz
signal1 = sin(2*pi*f1*t);  % 5 MHz 正弦信号
signal2 = sin(2*pi*f2*t);  % 4 MHz 正弦信号% 混频操作
mixed_signal = signal1 .* signal2;% 频谱计算函数
N = length(t);
f = (-N/2:N/2-1)*(fs/N);  % 频率轴
S1 = fftshift(fft(signal1));  % 对第一个信号做傅里叶变换并移频
S2 = fftshift(fft(signal2));  % 对第二个信号做傅里叶变换并移频
S_mix = fftshift(fft(mixed_signal));  % 混频信号的傅里叶变换% 时域波形绘制
figure;
subplot(3,1,1);
plot(t*1e6, signal1);  % 转换为微秒显示
title('5 MHz 信号时域波形');
xlabel('时间 (µs)');
ylabel('幅值');subplot(3,1,2);
plot(t*1e6, signal2);
title('4 MHz 信号时域波形');
xlabel('时间 (µs)');
ylabel('幅值');subplot(3,1,3);
plot(t*1e6, mixed_signal);
title('混频信号时域波形');
xlabel('时间 (µs)');
ylabel('幅值');% 频谱绘制
figure;
subplot(3,1,1);
plot(f/1e6, abs(S1)/N);
title('5 MHz 信号频谱');
xlabel('频率 (MHz)');
ylabel('幅值');subplot(3,1,2);
plot(f/1e6, abs(S2)/N);
title('4 MHz 信号频谱');
xlabel('频率 (MHz)');
ylabel('幅值');subplot(3,1,3);
plot(f/1e6, abs(S_mix)/N);
title('混频信号频谱');
xlabel('频率 (MHz)');
ylabel('幅值');

  显示结果如下：

  可以看到混频后的信号频谱波峰在1和9M左右，为什么频谱波形都是对称的呢？

1. 实值信号的傅里叶变换是共轭对称的。对于实值信号（例如正弦波），其傅里叶变换的频谱会在正频率和负频率上对称。也就是说，如果输入的是一个实值信号 $x(t)$，那么其傅里叶变换 $X(f)$ 满足：
   $$X(-f)=X^{\ast }(f)$$
     这里$X^{\ast }(f)$表示$X(f)$的共轭复数，因此幅度频谱对于正负频率是对称的。

2. 一个频率为$f_0$的正弦信号可以表示为：
   $$x(t)=sin(2\pi f_{0}t)$$
     使用傅里叶变换会得到两个频率分量，分别位于 $f_0$和$-f_0$：
   $$X(f)=\frac{1}{2j}[\sigma (f-f_0)-\sigma (f+f_0)]$$
     这意味着频谱在 $f_0$和$-f_0$出有幅值，导致正负频率对称。

四、FPGA实现混频上下变频操作

4.1 例化IP

  我们可以使用上一文章《FPGA实现频率、幅度、相位可调的DDS以及DDS Compiler IP核的使用验证》使用的DDS来产生两个不同频率的正弦信号，然后通过一个乘法器对两个信号进行相乘，然后观察相乘之后的波形。可以用自己写的DDS也可以使用IP，这里使用IP快速的进行仿真，IP例化如下：

  第二个DDS设置也是同样的步骤，选择4Mhz输出，这里不再赘述。然后例化乘法器：

4.2 仿真验证

  仿真代码如下：

`timescale 1ns / 1ps
module tb_ddsmixer();reg                                                 aclk    ;
reg                                                 aresetn ;
wire                                                m_axis_data_tvalid1 ;
wire            [15:0]                              m_axis_data_tdata1  ;
wire                                                m_axis_data_tvalid2 ;
wire            [15:0]                              m_axis_data_tdata2  ;
wire            [31:0]                              mixer   ;initial beginaclk = 0;aresetn = 0;#100;aresetn =1;
endalways #5 aclk = ~aclk;dds_compiler_0 u0_4Mhz_sin (.aclk(aclk),                              // input wire aclk.aresetn(aresetn),                        // input wire aresetn.m_axis_data_tvalid(m_axis_data_tvalid1),  // output wire m_axis_data_tvalid.m_axis_data_tdata(m_axis_data_tdata1)    // output wire [15 : 0] m_axis_data_tdata
);dds_compiler_1 u0_5Mhz_sin (.aclk(aclk),                              // input wire aclk.m_axis_data_tvalid(m_axis_data_tvalid2),  // output wire m_axis_data_tvalid.m_axis_data_tdata(m_axis_data_tdata2)    // output wire [15 : 0] m_axis_data_tdata
);mult_gen_0 your_instance_name (.CLK(aclk),  // input wire CLK.A(m_axis_data_tdata1),      // input wire [15 : 0] A.B(m_axis_data_tdata2),      // input wire [15 : 0] B.P(mixer)      // output wire [31 : 0] P
);endmodule

  打开仿真：

  我们可以看出混频后的波形整体频率较小，然后再叠加了高频的信号，我们用时标看一下频率是多少：

  可以看到，整体的波形频率为1Mhz，对应的是差频信号$f_1-f_2$=5M - 4M = 1M。我们再来看高频信号频率：
  可以看到，整体的波形频率为1/110=9.09M，对应的是和频信号$f_1+f_2$=5M + 4M = 9M。